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Los puntos A(1,1,0) y B(2,2,1) son vertices consecutivos de un rectangulo ABCD.Además, se sabe que los vertices C y D estan contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.

La recta que contiene a los puntos C y D debe de ser paralela a la que contiene a los puntos A y B (por formar un rectángulo). Sus vectores son paralelos. La recta buscada (que pasa por C y D) tiene ei mismo vector (por ejemplo el AB)

AB = OB - OA = (2,2,1) - (1,1,0) = (1, 1, 1)

Como pasa por origen de coordenadas su ecuación es:

x = t
y = t
x = t

Ahora buscamos el plano que pasa por A y es perpendicular a la recta definida por A y B:

Su vector es el (1, 1, 1) y un punto es el A (1,1,0):

x + y + z + D = 0　　(para que pase por A)

1 + 1 + 0 + D = 0 => D = -2

El plano es el x + y + z - 2 = 0

El punto C es la intersección de este plano con la recta calculada:

Sustituimos los puntos de la recta:

x = t
y = t
x = t

en el plano x + y + z - 2 = 0 => t = 2/3

Luego el punto C es el (2/3, 2/3, 2/3).

Ahora podemos calcular OD haciendo:

OD = OC + AB = (2/3, 2/3, 2/3) + (1, 1, 1) = (5/3, 5/3, 5/3)

D es el punto (5/3, 5/3, 5/3)

Si no entiendes algo me lo comentas.