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Mensaje 15 Dic 13, 21:24  31041 # 1



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Univérsitas

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Univérsitas 

Registro: 27 Abr 13, 23:15
Mensajes: 18
Mi nombre es: Brenda
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: Argentina
Ciudad: Buenos Aires
Género: Femenino

______________________
Dada la función:

                2
f(x) = ------------
           ex + e-x
                             
Determinar:

1) Comportamiento de f(x) cuando x---> ±∞
2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
3) Regiones de concavidad

Gracias, de antemano.
          
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Mensaje 15 Dic 13, 22:16  31043 # 2


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Admin Licenciad@

______________Detalles_
Admin Licenciad@ 

Registro: 28 Oct 05, 00:18
Mensajes: 9672
Mi nombre es: Andrés Jesús
_____________Situación_

Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino

______________________
Hola,

Cita:
"1) Comportamiento de f(x) cuando x---> ±∞"


lim ex = lim e-x = ∞
x→∞      x→-∞

lim e-x = lim ex = 0
x→∞      x→-∞

De lo anterior se deduce que:

lim f(x) = 0         Asintota horizontal   y = 0  (eje X)
x→±∞

Cita:
"2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento"


              -2(ex - e-x)
f'(x) = ------------------ =
               (ex + e-x

f'(x) = 0     ex - e-x = 0         ex = e-x       x = 0

Si x < 0    =>   f'(x) > 0      Creciente
Si x > 0    =>   f'(x) < 0      Decreciente

En (0,1)  hay un máximo

Cita:
"3) Regiones de concavidad"


                (ex + e-x)²(ex + e-x) - 2(ex + e-x)(ex - e-x)(ex - e-x)
f''(x) = -2 ------------------------------------------------------------------ =
                              (ex + e-x)⁴

        (ex + e-x)² - 2(ex - e-x)²             e2x + e-2x + 2 - 2e2x - 2e-2x + 4
= -2 ------------------------------- = -2· ----------------------------------------- =
                  (ex + e-x)³                                       (ex + e-x

          e2x + e-2x - 6
= 2 ------------------------
              (ex + e-x

f''(x) = 0             e2x + e-2x - 6 = 0    Hacemos        e2x = t  =>   t + 1/t - 6 = 0 =>

t = 3 ± 2√2            t + 1/t - 6 = 0

e2x = t         =>      x = ½·ln t = ½·ln (3 ± 2√2) ≈ ± 0,88

Si x < -0,88   o   x > 0,88     f''(x) > 0  =>   U+

Si x  -0,88 < x < 0,88     f''(x) < 0  =>   ∩-

Imagen

Función en trazo rojo y derivada


ImagenImagen
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