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Mensaje 22 Nov 12, 00:51  28977 # 1



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De nuevo, yo!
Buenas, vengo de nuevo a este foro, y con el mismo tema, en serio, no lo entiendo, por esta razón, y de igual manera agradeciéndoles por la ayuda prestada en el anterior, LES PIDO POR FAVOR, que sean un poco explicitos, Por favor  :wink:
Además, de que al intentar realizar, este tipo de ejercicios, se me es por completo, una gran DIFICULTAD.  :~:  :~:
Muchas gracias, por su atención, y obviamente gracias, por su ayuda! Son GENIALES!  :alabanza:  :alabanza:

Aquí vamos!

◘ Utilice el principio de inducción matemática para demostrar que el enunciado dado es cierto para todos los números naturales n.
                                       n
• 1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)= ---(n+1)(2n+7)
                                       6
                         
•1³+2³+3³+...+n³= ¼n²(n+1)²
                         
◘ Encuentre cada una de las sumas.

3/9 + 3²/9 + 3³/9 +...+ 3n/9

◘ Determine si la sucesión dada es aritmética, geométrica, o ninguna de los dos. Si la sucesión es aritmética, encuentre la diferencia común y la súma de los primeros n términos. Si la sucesión es geométrica, encuentre la razón común y la suma de los primeros n términos.

5, -5/3, 5/9, -5/27, 5/81,...

Les agradezco por su colaboración  :alabanza:  :alabanza:
          
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Mensaje 23 Nov 12, 03:33  29002 # 2


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 Enunciado 

•1³+2³+3³+...+n³= ¼n²(n+1)²



Suponemos como cierta que la suma de los primeros (n-1) términos vale:

(En la expresión Sn = ¼n²(n+1)²    cambiamos  'n'  por   'n-1')

Sn-1 = ¼(n-1)²(n-1+1)² = ¼n²(n-1)²

(Se supone para n-1 y se demuestra para 'n' =>  inducción)

Ahora tenemos que probar de Sn-1 + an = Sn

an = n³
                                         ↓ sacando factor común n²                 
Sn-1 + an = ¼n²(n-1)² + n³ = n²·(¼(n-1)² + n) = n²·(¼n² + ¼ - n/2 + n) =

= n²·(¼n² + ¼ + n/2) = n²·(¼n² + ¼ + 2n/4) = ¼·n²·(n² + 2n + 1) = ¼·n²·(n + 1)² = Sn  cqd


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Mensaje 23 Nov 12, 03:46  29004 # 3


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 Enunciado 

3/9 + 3²/9 + 3³/9 +...+ 3n/9



(1/9)·(3 + 3² + 3³ + ... + 3n)

(3 + 3² + 3³ + ... + 3n)

Progresión geométrica con  a1 = 3  y  r = 3

an = 3·3n-1

            rn - 1            
Sn = a1 --------- = (3/2)·(3n - 1)
             r - 1

Ahora añadimos el factor (1/9) = 3-2

(1/9)·(3 + 3² + 3³ + ... + 3n) = (1/6)(3n - 1)


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Mensaje 24 Nov 12, 01:04  29026 # 4


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 Enunciado 

5, -5/3, 5/9, -5/27, 5/81,



Si divides cada término por el anterior te dará (-1/3)

Es una progresión geométrica de  a1 = 5   y   r = -1/3

            rn - 1            (-1/3)n - 1
Sn = a1 --------- = 5·------------- = -(15/4)·(-3-n - 1)
            r - 1               (-4/3)


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Mensaje 28 Ene 13, 18:34  29639 # 5



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Mi nombre es: Edmar Campos Alarcón
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País: Perú
Ciudad: Lima
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:dormir: 1)En primer lugar, nótese que 1(3)=1(2)(1*2+7)(1/6)
Ahora, demostraremos que si la afirmación escrita en el enunciado es correcta para n, también lo será para n+1.
1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)=n(n+1)(2n+7)(1/6)
Sumando (n+1)(n+3) a ambos miembros :
1*3+2*4+3*5+...+n(n+2)+(n+1)(n+3)=n(n+1)(2n+7)(1/6) + (n+1)(6n+18)(1/6)=[(n+1)(1/6)][2n*n+ 7n+(6n+18)] = [(n+1)(1/6)][2n*n+13n+18]
=  (n+1)(1/6)(2n+9)(n+2)

Que es lo que queríamos probar.

2)Análogamente, sabemos que 1³ =[1(1+1)(1/2)]²
Solo hay que probar que si 1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)(1/2)]², →1³+2³+3³+...+(n+1)³=[(n+1)(n+2)(1/2)]²
Partiremos de 1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)(1/2)]²
Sumemeos (n+1)³ a ambos miembros
1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³=[n(n+1)(1/2)]²+(n+1)³=[n+1]²[n²/4+(4n+4)/4]=[n+1]²[n²+(4n+4)](1/4)=[(n+1)(n+2)(1/2)]²
Por lo tanto 1³+2³+3³+...+a³= [a(a+1)(1/2)]²,∀a∈IN

:dormir:
          
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Mensaje 28 Ene 13, 23:11  29641 # 6


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Bachiller

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Muchas Gracias, y perdón a quién me respondió primero (Galilei)...de no haberle agradecido antes...de corazón les agradezco  :aplauso:  :aplauso:
          
       


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