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Mi pregunta es sobre el cálculo de este límite:

             ⁴√x³-x
lim    -------------
^x->1      √x²+x-2

(se entiende que en el numerador, la raiz es raiz cuarta).

La cuestión es: resulta que el dominio de esta función comienza en 1⁺, porque para x=1 el valor de la función es 0/0. Si me preguntan por el límite de la función en x->1 termina por darme un valor 2/0 que estudio por límites laterales:

El límite 1^- no existe porque me da una raiz cuarta de un número negativo (está ya fuera del dominio).
El límite 1⁺ existe y es infinito.

Si me preguntan por el límite en x->1 tal y como está formulada la expresión,

¿Es correcto decir que el límite es infinito, porque x=1 es el límite del dominio, y por tanto, no existe el límite 1^-?

¿O hay que decir que el límite no existe porque el límite por la derecha no coincide por la izquierda, según la definición de límite?

Pregunta más genérica: cuando me preguntan por el límite de una función cuando x tiende al extremo del dominio, ¿puede existir el límite, o de entrada, el límite no existe por estar en el extremo del dominio?

Gracias por adelantado.

Hola, Pedro. Espero que te valga:



                      ⁴√x³-x  
        Sea f(x)= ----------
                      √x²+x-2

Desde luego, esta función f(x) no tiene límite en x=1 por no coincidir los laterales; lo impide el hecho de que no exista el límite por la izquierda.


                  No. El límite de f(x) cuando x→1 no existe por no existir  lím f(x) cuando x→1^-


                  Efectivamente.



Podemos afirmar que no existirá el límite en el extremo del dominio.

Tanto si fuera  Dom (f) = (1 , +∞)  como   Dom (fx) = [1 , +∞) , no existirá lím f(x) cuando x→1^-, aunque habrá que demostrarlo.

Por ejemplo, sea g(x) = √x, con Dom(g)= [0 , +∞) ; calcular  lím cuando x→0:

    ∃   lím g(x)  (he querido poner el símbolo de "no existe", la E mirando "pal otro lao" tachada)
         x→0-

    lím g(x) = 0
   x→0+

Por no coincidir los límites laterales, no existe el límite de g(x) cuando x tiende a 0.

Ahora bien, en estos casos se debe destacar que existe el límite por la derecha (y vale 0 aquí).

Es más, si estás estudiando la continuidad de una función como estas, debes mencionar que:

  g(x) es continua por la derecha por ser f(0) = lím f(x) = 0
                                                                   x→0⁺

Para una función como h(x) = Ln x , con Dom(h)= (0 , +∞), como:
 ∃  lím  h(x)
     x→0-

 ∃ f(0)  

      lím  h(x) = -∞
      x→0+

Ln x no es continua en x=0 ni siquiera unilateralmente.

Función continua (Wiki)

Venga.

Muchas gracias Etxeberri por tu respuesta, porque ha sido muy ilustrativa.

Sólo te quería comentar que si meto en Wolfram la función √x para cuando x tiende a 0, me responde que tiene límite, y que el límite es 0, supongo que es porque tiene en cuenta el límite en los complejos por la izquierda. Mi pregunta sería: siempre que hablamos de límites, ¿nos vamos a referir a números reales, o es posible estudiar límites complejos y reales simultáneamente?

Sin embargo, si introduzco en Wolfram el límite de (√x)/x para cuando x tiende a 0, entonces sí me dice que no tiene límite, porque el límite por la izquierda (complejo) no coincide con el límite por la derecha (real). ¿es correcto introducir en el estudio de límites los valores complejos y reales a la vez? (la misma pregunta que antes pero de otro modo).

Gracias por tu aclaración.

- Hola, Pedro:
En el ámbito de bachillerato nunca se evalúan los límites de funciones fuera de ℝ, ni siquiera cuando se estudian los números complejos, ya que entonces no se aplican límites (seguramente sabes que en bachillerato se ven números complejos, no funciones complejas).

En cursos superiores desde luego que se calculan límites en ℂ. Aquí tienes el valor de Ln(-1) : http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Euler  , apdo. "Relevancia matemática"; mira qué otras suculentas expresiones aparecen y qué campo abren.   

Yo puedo decir que domino los complejos: tengo de superioridad, inferioridad, peterpán... ; bueno, como todo el mundo...

Un saludo.

Te veo muy "acomplejado", Etxeberri. Está bien, siempre que sea de los complejos matemáticos, claro está.

Gracias nuevamente por todo.