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Mensaje 11 Jun 11, 16:25  23893 # 1



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.

    ex
---------
x² + ex

Limite de f en ∞ y -∞
Monotonia y extremos relativos
          
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Mensaje 11 Jun 11, 19:23  23895 # 2


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Mensaje 11 Jun 11, 20:21  23896 # 3


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-Hola, Cris.
                                                           ex
                                        Sea f(x)=  --------
                                                       x2 + ex
                       ex
a)  lím        --------               
     x→+∞    x2 + ex  
                               
(en este apartado, por abreviar, lím   será  solo  lim).
                                           x→+∞

Sustituyendo directamente tenemos
                 +∞
 lim f(x) = ------- ,
                 +∞
que es indeterminado [el método empleado "no decide". Hay que buscar otro para que aflore el verdadero valor].

                   g(x)                                                                                            g(x)         g'(x)
Por ser f(x) = ----- y ser indet. de la forma ∞/∞, aplicamos la Regla de L'Hôpital:  lim  ---- = lim -----
                   h(x)                                                                                            h(x)         h'(x)  

                                                                                                   ex                 ex               ex
Aplicando L'Hopital hasta que deje de producirse ∞/∞   : lim f(x) = lim -------- = lim -------- = lim ----- = 1
                                                                                                 2x + ex           2 + ex           ex
[Cada vez que se aplique L'Hopital, hay que indicarlo].
            
                       ex
b)  lím        --------               
     x→-∞    x2 + ex  
                                                                              0
Sustituyendo directamente, y considerando que e-∞=0, tenemos  lím   f(x) = ------- = 0
                                                                                        x→-∞        +∞ + 0
(0 caramelos entre ∞ niños no es nada indeterminado)

 Última edición por Etxeberri el 12 Jun 11, 19:58, editado 1 vez en total 
          
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Mensaje 11 Jun 11, 22:24  23897 # 4


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-Holahola.
                              ex
                  f(x) = ----------
                            x2 + ex
Para el estudio del crecimiento/decrecimiento (monotonía) y de los máximos y mínimos (extremos relativos), seguiremos el criterio de la derivada primera. Pero antes es necesario conocer el dominio de la función [saber qué valores puede tomar x y cuáles no].

la expresión ex existe siempre; el denominador no puede anularse por no hacerlo nunca x2 ni ex, luego
    Dom (f) = ℝ  [a la fción. puede dársele cualquier valor de x, que "responderá"].

Criterio de la derivada primera: Comprobamos dónde (de)crece f(x) y, en consecuencia, si tenemos máx o mín:
 

                                                  f '(x) = 0=> obtengo x0, x1, x2... posibles extremos relat.
                                               /
 Sea f '(x) la derivada de f(x) =>   -   f '(x) > 0 => f(x) crece
                                               \
                                                  f '(x) < 0 => f(x) decrece

Todo comienza en f '(x)=0, así que derivamos la función como cociente que es [procedimiento muy distinto de L'Hopital).]
                            ex(x²+ex) - ex(2x+ex)                                                                       
                  f '(x) = ----------------------                                          Ahora hacemos f '(x) = 0
                                 (x2 + ex)2

ex(x²+ex) - ex(2x+ex)                                ex(x²-2x)
--------------------- = 0            =>       ---------------- = 0  =>   ex(x²-2x) = 0 (sólo depende del numerador)
      (x2 + ex)2                                           (x²+ex


                                                   ex = 0, que no tiene solución.
                                                /  
Por ser un producto igual a cero, es       o bien:                                x0 = 0
                                                \                                          /
                                                   x²-2x = 0  =>  x(x-2)=0 =>
                                                                                           \
                                                                                              x1 = 2

x=0, x=2 son posibles extremos. Para decidirlo, necesitamos conocer dónde crece/decrece la función. Así que proseguimos con la monotonía y luego retomaremos estos valores.

Estudio de f '(x)>0 y f '(x)<0 , esto es, dónde f '(x) es positiva y dónde negativa:

Formamos una tabla de signos para f '(x). Entre -∞ y +∞ intercalamos en orden los valores aislados apartados del dominio (ninguno) y los posibles extremos relativos (0 y 2). Así compartimentamos en tramos el estudio del signo: desde -∞ hasta 0, desde 0 hasta 2 y desde 2 a +∞.
Pero tenemos que f '(x) es una fracción con denominador siempre + por ser un cuadrado: (2x+ex)² . Luego el signo de f '(x) depende exclusivamente de su numerador:
ex(x²-2x) = ex·x·(x-2) . de estos factores, ex será siempre +, pero x y x-2 pueden cambiar su signo según el valor que tome x [recordemos que a x, por el dominio ℝ, puede dársele cualquier valor]. Todo se reduce a estudiar el signo de x y de x-2.

                                                      -∞        0        2       +∞
                                                   x:        -        +        +
                                                 x-2:       -        -        +
                                                 ------------------------------
                                                f '(x):      +          -          +  

Es decir, entre -∞ y 0 se ha dado un valor cualquiera a x y debe ser -; entre 0 y 2 ya será +, y de 2 en adelante seguirá +.
Para x-2, un valor cualquiera de x hace todo x-2 negativo, sigue - entre 0 y 2, y ya será + de 2 en adelante. Como x y x-2 se están multiplicando, multiplicamos sus signos, que serán los definitivos de f '(x).

Por tanto, f '(x) > 0 en (-∞ , 0) U (2 , +∞) y, por tanto, f(x) es CRECIENTE en dichos intervalos.
              f '(x) < 0 en (0 , 2): f(x) es DECRECIENTE en (0 , 2).

Por último, retomamos los posibles extremos x0=0, x1=2.
Lo primero, en ellos puede haber máx o mín por estar ambos permitidos por el dominio.
Como por la izda de 0 f(x) crece y por la dcha de 0 decrece, en x=0 hay un máximo.
Como por la izda de 2 f(x) decrece y por la dcha crece, en x=2 hay un mínimo.

Este es el criterio de la derivada primera.

Ahora bien, un máximo y un mínimo son puntos ordinarios de la función. Tenemos sus abcisas (x=0, x=2), pero queremos las ordenadas "y" correspondientes. Por supuesto las pedimos a y=f(x) como "y" que son, nunca a y'=f '(x) (daría un bonito 0 obligatoriamente, ¿no?).

Entonces: f(0)= e0/(0²+e0)= 1/1 = 1 => MÁXIMO en (0 , 1).
              f(2)= e2/(2²+e2) = e2/(4+e2) (≈0,65) => MÍNIMO en (2 , e2/(4+e2)).

Y eso es todo. Dime si eso.
¡Hale, venga!
          
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Mensaje 12 Jun 11, 12:35  23911 # 5


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Perdonad si puse mal la funcion y eso =S es que tenia mucha prisa de veras..que tengo el examen dentro de poco!
Pero Muchas gracias a todos!!!de verdad!!!=D
          
       


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