Foros Ciencias Galilei

El siguiente límite tiene da -e/2, pero con L'Hôpital no consigo resolverlo, ¿cómo debo proceder?

      (1 + x)^1/x - e
Lim ----------------
^x→0         x

Hola,

Aplicando L'hopital, nos queda que el limite de la función es igual a:

Lim derivada de (1+x)^1/x

z = (1+x)^1/x

Ln z = (1/x)·Ln (1+x)       derivando:
                                                            1                Ln (x+1)
z'/z = (-1/x²)·Ln (1+x) + (1/x)·(1/x+1) = ------------ - ------------
                                                         x(x+1)                x²
            1                Ln (x+1)
z' = ( ----------  -  ------------)· (1+x)^1/x
         x(x+1)                 x²

     x - (x+1)·Ln (x+1)
= ---------------------- · (1+x)^1/x    Aplicando L'hopital al primer término
           x²(x+1)  

   1 - (x+1)/(x+1) - Ln (x+1)
= ---------------------------- ·  (1+x)^1/x
            3x² + 2x

      - Ln (x+1)
= ---------------- ·  (1+x)^1/x            Aplicando L'hopital al primer término
        3x² + 2x
          -1
= ---------------- ·  (1+x)^1/x
    (6x + 2)·(x+1)

           -1                                               -1
Lim ---------------- ·  (1+x)^1/x = lim --------------- · lim (1+x)^1/x
     (6x + 2)·(x+1)                             (6x + 2)·(x+1)

= (-1/2)·e = -e/2

La primera parte tiende a -1/2  cuando x →0  y el limite de (1+x)^1/x = e

Límite f(x)

Una cosa que no entiendo, ¿por qué el límite cuando x tiende a 0 de (1+x)^1/x es igual al número e?

WolframAlpha me dice que ese límite es igual a e elevado al límite cuando x tiende a 0 de ln(x+1) / x pero ¿de dónde sale eso?

Gracias!

Sea  y=lim_x→0(1+x)^1/x, que es de la forma 1^∞. Lo que haremos es usar la propiedad de conmutabilidad que tiene el limite con el logaritmo neperiano o logaritmo natural. Así, aplicando logaritmo a ambos lados.

Ln(y)=lim_x→0Ln(1+x)/x   (0/0)

Aplicando L'Hopital:

Ln(y)=lim_x→0[1/(1+x)]/1

Entonces

Ln(y)=1

Usando la exponencial, tenemos que:

y=e

pero

y=lim_x→0(1+x)^1/x

Entonces

lim_x→0(1+x)^1/x=e

Éxitos!!!....

Hola,

Otra forma.

El número 'e' se define como:

e = lim (1 + 1/n)^{n
    n→∞}

Haciendo 1/n = x      cuando n →∞    =>    x → 0     (n = 1/x)

Haciendo el cambio:

e = lim (1 + 1/n)ⁿ = lim (1 + x)^{1/x
    n→∞                  x→0}

Gracias a ambos, lo he entendido mucho mejor :)