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Buenas, este es un ejercicio de un examen que he hecho esta mañana, bueno, el caso es que te dan la función:

f(x) = 3x²/x(x² - 1)

Primero te pedían el dominio, que es todos los reales menos los que hagan 0 el denominador D(f) =  ℝ - {0, -1. +1}, si lo hice bien.

El problema es cuando me piden que saque los puntos de corte, ya que:

Eje OX -> Si Y = 0; 3x²/x(x² - 1) = 0; 3x² = 0; x = 0 [corta en (0, 0)]
Eje OY -> Si x = 0; f(x) = 3·0²/0(0² -1) = 0/0(0 - 1) = 0/0 [como el denominador es 0, la función no tiene sentido]

Lo que quiero saber es, primero dónde me he equivocado, y, en el caso poco probable de que no sea error mío, cómo cuando f(x) = 0 -> x= 0 y cuando x = 0 la función no tiene sentido (tened paciencia conmigo, sólo estoy en 4º...).

Muchas gracias.

Hola,

La respuesta es fácil:

Para que a/b = 0 se tienen que cumplir dos condiciones:

a =  0   y    b ≠ 0

En tu caso cumple la primera pero no la segunda, luego no es un cero de la función. Veamos que es:

Lim f(x) = 0/0 imdeterminado
x→0
             3x
= Lim ------------ = 0
x→0     (x² - 1)

Es una discontinuidad evitable, le falta el punto (0,0) (se lo han quitado).

Tienes razón cuando dices que el cero no pertenece al dominio de f(x).

Se dice que no tiene puntos de corte con el eje X, es más si tomas límites cuando x tiende a 0, puedes observar que la función tiende a cero pero nunca lo tocará. Otra forma de verlo más sencillo es que el dominio de definción de la función está el cero, por lo que en cero nunca podrá tocar; pues no hay función. Imagino que ahora te preguntarás que por qué al darle el valor a y=0 te sale x=0, ¿quiere decir eso que si corta con el eje de las y=0?, ¿pero eso sería ilógico, pues si al darle 0 a la x me sale 0/0?, bien pues te explico que para esa función, cuando tu miras si corta con el eje de las "y", y le das el valor y=0 digamos que la "y" te "miente", pues no conoce tu función y la información que te da es que para eso punto necesitas un x=0, pero al hallar el dominio te dice que en x=0 no hay función; por consiguiente no cortaaniguneje

Ejemplos:


x² - 1
------ = 0
x + 1

El nunerador se anula para x = 1 y x = -1  (condición necesaria)

Ahora vemos que para x = -1 también se anula el denominador. Esto quiere decir que no es punto de corte.

Si embargo x = 1 anula el numerador pero no el denominador => x = 1 es punto de corte (cero de la función)

Vale, creo que lo he pillado, me tengo que fiar del dominio de la función antes que de valores que le dé, ¿no?

¡Muchas gracias!