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Halla el valor de a y b para que el límite valga 2

limite cuando x tiende a 2 de (x²+ax+b)/(x²-4)=2

Hola,

La única manera para que el limite sea finito tendiendo a cero del denominador es que también el numerador lo haga y obtengamos una intederminación del tipo 0/0. En caso contrario el límite será infinito.

Lim x²+ax+b = 0    =>     4 + 2a + b = 0    =>     b = -4 - 2a
x→2

Ahora calculamos el límite sustituyendo b en él:

          x²+ax+b               x² + ax - 4 - 2a             x² - 4 + a(x - 2)
Lim   ------------- = Lim ------------------ = Lim ------------------- =
x→2       x²-4                          x²-4                       (x-2)(x+2)

           (x-2)(x+2) + a(x - 2)              (x-2)·(x + 2 + a)            (x + 2 + a)     4 + a
= Lim ------------------------- = Lim ------------------- = Lim ------------ = --------
                (x-2)(x+2)                          (x-2)(x+2)                    (x+2)             4

Como queremos que ese límite valga 2:

(4 + a)/4 = 2    =>     4 + a = 8           =>     a = 4

Recuerda que:

b = -4 - 2a = -4 - 2·4 = -12