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Se considera una función f(x) definida sobre todo R del modo siguiente:
        
         |x+2|          si    x < -1
f(x)=    x²              si -1 ≤ x ≤ 1
         2x+1           si    1 < x

y se desea saber si es continua en todos sus puntos o deja de serlo en alguno. Ilustra la respuesta, además de teçoricamente, llevando a cabo su representación gráfica.


2) Calcula:

a) lim (cos 2x)^2/x²
x→0

b) lim (x -√x² + 2x)
x→∞

en -1 izq la función tiende a |-1+2| = 1
en -1 der la función tiende a (-1)² = 1

en 1 izq la función tiende a (1)² = 1
en 1 der la función tiende a 2·1+1 = 3

Es continua en todo R salvo en x = 1 (límites laterales distintos)

b) lim (x - √x² + 2x)
x→∞

Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada de (x -√x² + 2x) que es (x + √x² + 2x)

    (x - √x² + 2x)(x + √x² + 2x)
Lim ----------------------------------  =
             (x +√x² + 2x)

         x² - (x² + 2x)                     -2x
= Lim ----------------- =  Lim  ------------------
         x +√x² + 2x                   x + √x² + 2x

Dividimos por x numerador y denominador:

                  -2
= Lim  -------------- =  -1
         1 + √1 + 2/x

Cuando x → ∞     2/x → 0

A = Lim (cos 2x)^{2/x²
     x→0}
Aplicamos Ln:
                                                   2·Ln cos 2x
Ln A = Lim [(2/x²)·Ln cos 2x]  =  Lim -------------
                                                          x²

Aplicando L'hopital:

       2·(-2)·sen 2x               -2·tg 2x             -4·(1+tg²x)
=Lim --------------- = Lim  ------------ = Lim --------------- = -4
        2·x· cos 2x                        x                      1

Cuando x → 0    tg²x → 0

Ln A = -4     =>   A = e^-4