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Mensaje 07 Oct 09, 20:47  13948 # 1



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Tengo duda en resolver algunos ejercicios sobre desigualdades y funciones. No quiero que me lo resuelvan, porque lo quiero resolver yo, pero solamente necesito buscar algún libro o referencia donde te expliquen muy bien las desigualdades de polinomios y valores absolutos  de 1º de ingeniería, y las funciones elementales, ya que las referencias del profesor son muy escasas y el trabajo lo tenemos que hacer nosotros. ¿Qué me aconsejais?

Mi duda son estos dos problemas:

1. Dado un número entero N, justifica que la función f:[N(pi)-pi/2, N(pi)+pi/2]->R dada por f(x) = senx es inyectiva y expresa la inversa de f por medio de la función arcoseno. Representar arcsen(senx) para x pertenece al intervalo [-3(pi)+pi/2, 3(pi) + pi/2]

2. Justifica usando las propiedades de la función exponencial, h: R -> R dada para todo x son todos los números R por h(x)= (ex-e-x)/2  y es estrictamente creciente. Calcula su inversa.

Gracias.

 Última edición por Luguber el 07 Oct 09, 22:21, editado 2 veces en total 
          
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Mensaje 07 Oct 09, 21:17  13967 # 2


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2. Justifica usando las propiedades de la función exponencial, h: R -> R dada para todo x son todos los números R por h(x)= (ex-e-x)/2  y es estrictamente creciente. Calcula su inversa.



Hola.

Una función es creciente si su derivada es positiva.

y = ½·(ex - e-x)

y' = ½·(ex + e-x)

como ax > 0    para a>0 y ∀x∈ℝ

Los dos sumandos, ex y e-x son ambos positivos luego y'>0 => y es creciente.


Para hallar la inversa hacemos ex = t   => e-x = t-1 = 1/t

y = ½·(ex-e-x) = ½·(t - 1/t)

2y = t - 1/t      multiplicando por t:

2yt = t² - 1

0 = t² - 2yt - 1 .Ecuación de segundo grado cuya solución es:

     
t = y ± √y²+1

Tomamos el signo + porque t (que es ex) tiene que ser positivo:

Estamos con que:

t = ex = y + √y²+1

Aplicando Ln a ambos lados:

x = Ln (y + √y²+1)

Cambiando x por y:

y = Arcsenh = Ln (x + √x²+1)


Por favor, mírate esto para aprender a poner superíndices. Gracias


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Mensaje 07 Oct 09, 21:24  13968 # 3


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Cita:
"1. Dado un número entero n, justifica que la función f:[n(π)-π/2, n(π)+π/2]->R"


No entiendo eso de [n(π) ..., ¿es π²?

f:[n(π)-π/2, n(π)+π/2] = f:[-π/2, +π/2]

y esto:

Representar arcsen(senx) = x ?


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Mensaje 08 Oct 09, 01:12  13981 # 4


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Galilei escribió:
Cita:
"1. Dado un número entero n, justifica que la función f:[n(π)-π/2, n(π)+π/2]->R"


No entiendo eso de [n(π) ..., ¿es π²?

f:[n(π)-π/2, n(π)+π/2] = f:[-π/2, +π/2]

y esto:

Representar arcsen(senx) = x ?


Dado un número entero N, justifica que la función f:[n*pi-pi/2, n*pi+pi/2]->R dada por f(x) = senx es inyectiva y expresa la inversa de f por medio de la función arcoseno. Representar gráficamente la función arcoseno en el intervalo [-3*pi+pi/2, 3*pi + pi/2]

Perdona, me habré equivocado de signo, queria poner el signo PI
          
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Mensaje 08 Oct 09, 01:44  13988 # 5


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No sé si será correcto, pero, ¿No se puede verificar también el ejercicio de la siguiente manera?

Una función es estrictamente creciente en un intervalo si f(x1) ≤ f(x2)
Siendo x1 < x2, entonces verifico:

f(x) corta en el origen, entonces estudio los intervalos (-∞,0) y (0,+∞):

f(-1)<f(0), por tanto, en dicho intervalo es estrictamente creciente

f(0)<f(1), por tanto, en dicho intervalo es estrictamente creciente

Por tanto la función es estrictamente creciente en todo su dominio.

No se si es correcto o se puede deducir así  :okk:
          
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Mensaje 08 Oct 09, 13:12  14016 # 6


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Stranford escribió:
No se si es correcto o se puede deducir así


Sí, se puede pero es mucho más cómodo utilizar el criterio de:

La f es creciente si f'>0 y decreciente si f'<0

y si no compruebalo con x², por ejemplo.


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Mensaje 08 Oct 09, 13:17  14017 # 7


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Contestando a Stranford se me ha ocurrido la respuesta para el primer problema. Para demostrar que es inyectiva hay que probar que cumple que:

Si f(x) = f(y) => x = y

Para ello una linea horizontal no debe cortar a la gráfica en más de un punto. Esto ocurriría si la función es creciente (o decreciente) en ese intervalo. Luego para probar que es inyectiva basta con hacer la derivada y ver que es positiva o negativa en todo el mismo. Es decir, que la derivada no cambie de signo en el intervalo a estudiar.


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