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Mensaje 11 Jun 09, 00:05  12444 # 1



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Hola a todos,he llegado al tema de limites en mi curso de calculo y resolverlos es facil, en lo que me tranqueo es en las demostraciones segun la definicion.
El limite de una funcion se define asi:

∀ε>0,∃ δ>0:dom f(x)∩0</x-x·/<δ→/f(x)-L/<ε

1.Lo que quiero saber es por que no se puede decir que
∀δ>0,∃ε>0:dom f(x)∧0</x-x·/<δ→/f(x)-L/<ε que problemas habria?

2.Porque a veces cuando se quiere demostrar con la definicion un limite, al δ le das un valor =1 no le podrias dar otro valor,como por ejemlo 5?
como un ejemplo, me podrian resolver este problema?
Encuentrese segun la definicion:

Lim  (2x²-3x+1) = 10
x→3

3.En mi libro dice que el limite se da en un intervalo abierto <a,b>,pero yo digo  por que no puede ser en un intervalo cerrado?


Cuando el ser manda, el Universo obedece: La Fisica Cuantica.
          
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Mensaje 11 Jun 09, 01:55  12446 # 2


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No entiendo muy bien cómo lo escribes, pero más o menos es esto:

Se dice que Lim f(x) = L si
      x→a

∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0<|x-a|<δ => |f(x) - L|< ε

Lo que quiere decir que para cualquier entorno (intervalo) de radio ε alrededor del valor L (en el eje de las Y), se tiene que poder encontrar otro intervalo de centro 'a' y radio δ  (puede ser de distinto radio, δ, que el anterior, ε) tal que todos las imágenes de los puntos interiores de este segundo intervalo caigan del primero.

De aquí se deduce que ε y δ no tienen por qué se iguales. Eso sólo ocurriría en una función donde la pendiente fuese 1 (por ejemplo f(x)=x)

Además δ no es único (para un ε dado). Si, por ejemplo, todas las imágenes del intervalo -1<x<1 caen dentro del intervalo de radio ε, también lo harán todos los puntos interiores del intervalo:

-0,5<x<0,5. Luego valdría como δ cualquier número menor que 1.

Imagen


Ahora supongamos que la definición es como tu propones. Entonces vamos a demostrar que la función de la gráfica siguiente tiene por límite el 2 cuando x→2 (cosa que es falsa, evidentemente). Tomamos un δ cualquiera, por ejemplo el de la figura y bastaría con tomar un ε suficientemente grande para que todos los puntos interiores del intervalo de radio δ caigan dentro del intervalo de radio ε. Si aumentas δ podemos aumentar ε para que eso siempre ocurra.

Imagen


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Mensaje 11 Jun 09, 02:22  12447 # 3


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Cita:
"2.Porque a veces cuando se quiere demostrar con la definición un limite, al δ le das un valor =1 no le podrías dar otro valor,como por ejemplo 5?"


Dado un ε, tienes que encontrar un δ cualquiera que cumpla que las imágenes del intervalo de radio δ caigan dentro del intervalo de radio ε. Tu, dado un ε, puedes proponer un δ que quieras pero que cumpla con lo dicho anteriormente.

Por ejemplo en la función f(x)=x quieres probar que cuando x→ 2 el limite es 2. Se toma un ε determinado (que puede ser cualquier número. Yo puedo afirmar que todos los puntos del intervalo:

2-ε/2 < x < 2+ε/2 caen dentro del intervalo del eje de las Y de centro 2 y radio ε (δ sería ε/2)

o que:

2-ε/5 < x < 2+ε/5 caen dentro del intervalo del eje de las Y de centro 2 y radio ε (δ sería ε/5)

Tienes que tener en cuenta que dado un ε el δ no es único, hay infinitos δ que lo cumplen. Cualquiera de ellos te serviría para la demostración.


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Mensaje 11 Jun 09, 02:52  12448 # 4


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f(x) = 2x²-3x+1 = 2·(x - ½)·(x - 1). El límite es 10 cuando x → 3.

|f(x) - 10|<ε

|(x + 3/2)·(x - 3)|< ε

|(x + 3/2)·(x - 3)|< ε

|(x + 3/2)|·|(x - 3)|< ε

Por otro lado sabemos que:

|x - 3| < δ

Vamos a ver entre qué valores está comprendido x+3/2

-δ < x - 3 < δ

3-δ < x < 3+δ

3-δ + 3/2 < x+3/2 < 3+δ+3/2 (sumamos 3/2)

3+3/2-δ < x+3/2 < 3+3/2+δ

Si     3+3/2-δ < x+3/2 => -3-3/2-δ < x+3/2. Sustituimos:

-3-3/2-δ < x+3/2 < 3+3/2+δ

| x+3/2|< 9/2 + δ

| x+3/2|·|x - 3|< δ·(9/2 + δ)

Comparando, podemos tomar δ·(9/2 + δ) < ε

Dado un ε podemos buscar un valor para δ que cumpla la inecuación anterior.

Otra manera más engorrosa es calcular las raíces de la ecuación:

δ² + (9/2)·δ - ε = 0

que tiene por solución:

  √(16·ε + 81) - 9
δ = ------------------------
       4

que es lo que se pide: dado un ε encontrar un δ que depende de ε.

Hace tiempo que no resuelvo ejercicios de esta forma. Estoy desentrenado. Revísalo.


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Mensaje 13 Jun 09, 04:14  12488 # 5


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Muchas gracias Galilei por la ayuda.
Mira esta solucion que dice en mi libro:

Lim (2x²-3x+1) = 10
x→3
solucion:
|(2x²-3x+1)-10|=|2x²-3x-9|=|2x+3||x-3|
Si |x-3|<1 ,(aqui supongo que le da a δ=1),entonces 2<x<4 , 7<2x+3<11 , y
|2x+3||x-3|<11|x-3|
11|x-3|<ε
siempre que  |x-3|<ε/11.De donde si δ=min〈1,ε/11〉,entonces
 |(2x²-3x+1)-10|=|2x+3||x-3|≤11|x-3|<ε
siempre que
0<|x-3|<δ

Ahora Galilei, tu me has dicho que puedo darle un valor a δ siempre y cuando este´ dentro de un δ mayor, tal que la imagen este dentro de la vecindad reducida de radio ε y centro L.Pero ahora yo como se que el δ=1 esta dentro de ese δ mayor,para que me de una imagen que esta´ en la vecindad reducida de centro L y radio ε,  por que tal vez ese δ se pasa y tendria una vencidad en la que no encajaria en el intervalo de la imagen.

Por favor otra cosa.
No entiendo como me quieres probar que si digo ∀δ>0,∃ε>0/dom f(x)∧0<|x-x·|<δ→|f(x)-L|<ε
es algo falso, por que en la funcion que pones ∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0<|x-a|<δ => |f(x) - L|< ε
no existe el limite ya que los limites laterale son distintos.
Porque creo yo que para toda funcion (por ejemplo continua): si defines∀δ>0,∃ε>0/dom f(x)∧0<|x-x·|<δ→|f(x)-L|<ε es un enunciado verdadero, si no es asi cual seria el ejemplo contradictorio?
Por favor ayudenme,gracias


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Mensaje 14 Jun 09, 01:19  12514 # 6


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Cita:
"| x+3/2|·|x - 3|< δ·(9/2 + δ)

Comparando, podemos tomar δ·(9/2 + δ) < ε

Dado un ε podemos buscar un valor para δ que cumpla la inecuación anterior."


He estado consultando en un libro y lo realizado en el mensaje anterior es correcto e incluso lo escribe como:

  √(16·ε + 81) - 9
δ = ------------------------
       4

Ahora bien, afirma que una forma más elegante de hacerlo es suponer que tomamos δ ≤ 1, así que:

δ·(9/2 + δ) < δ·(9/2 + 1) = 11δ/2 < ε => δ < 2ε/11

ahora basta con tomar como δ = min (1, 2ε/11).

En cuanto a tu definición no sé si te das cuenta que tu afirmas que ∀δ , ∃ε / ...

Pues bien en el dibujo he tomado un δ y he encontrado un ε que lo contiene (al intervalo) y si amplias el δ, yo amplio el radio ε de manera que siempre lo contendrá, lo cual es una contradicción porque la función no es continua. Es decir, con tu forma de definir el límite yo te demostraría que esa función es continua porque para todo intervalo del eje de las 'x', encontraría uno en el eje de las 'y' de manera que el segundo contendría siempre al primero.

Lo contrario no es posible. Si cojo un intervalo del eje de las Y de valor ε = 0,1 no serás capaz de encontrar uno en el eje de las 'x' que esté contenido en el anterior. No sé si me has entendido. Bastaría con tomar un ε < 0,5 para que no puedas hacerlo (encontrar el δ).


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Mensaje 15 Jun 09, 23:44  12565 # 7


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Disculpame Galilei por mi terquedad pero no entiendo por que es necesario que un intervalo contenga a otro, si lo que pido es que ∀δ>0,∃ε>0... o sea que exista aunque sea un valor de ε, según tu gráfico,si existe,y también me dices que si tomo un intervalo de radio δ su imagen de esta estaría contenida por el intervalo de radio ε, y asi sucesivamente si tomo cualquier valor de δ,en esto te entiendo,y después ,me dices que si doy la definición que ∀ε>0,∃δ>0 y tomo un ε=0.1 nunca conseguiría un intervalo de radio δ que este contenido en el ejes de la Y, en eso también tienes razón, pero y que tiene que ver eso con que   ∀δ>0,∃ε>0 ...sea un enunciado falso?, me podría aclarar esa parte por favor?, ya que me dices que estaría demostrando que sea una función continua o algo así.
Gracias


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Mensaje 16 Jun 09, 00:46  12568 # 8


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Tú, lo que afirmas es que una función tiene por limite 3 cuando x→1 si:

Cita:
"∀δ>0 ,∃ε>0 :dom f(x)∧0</x-1/<δ→/f(x)-3/<ε que problemas habria?"


O sea, tú afirmas que para que tenga límite, para todo intervalo del punto 1 y radio δ, tiene que haber un intervalo de centro 3 y radio ε que contenga a las imágenes del anterior.

Pues bien, tomando como ε el mayor de los pintados en la gráfica cumpliría tu definición y por tanto tendría límite cuando x → 1, y sería el 3. Cualquier intervalo que tomes alrededor del 1 tendría todas sus imágenes dentro del intervalo de centro 3 y radio ε (el mayor de los pintados).

Ahora vamos a la definición verdadera que dice que para todo intervalo de centro L (3) y radio ε (cualquiera) se debe poder encontar otro de centro 1 y radio δ tal que todas las imágenes de este último intervalo caígan dentro del primero. Se puede observar que si tomas un ε como el pequeño del dibujo, no podrás encontrar ningún intervalo alrededor del 1 que caíga dentro de él. Luego el 3 no es el límite.

La idea es que si vas reduciendo el intervalo de centro L y radio ε, también se va reduciendo el intervalo de centro 1 y radio δ, de manera que por pequeño que sea el primero siempre existe el segundo cuyas imágenes queden contenidas dentro del primero.

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