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Bien, el otro dia en clase de matematicas un ejercicio plantea lo siguiente:

¿Qué tipo de discontinuidad presenta la funcion f(x)= (x² -9x + 14)/(x-2)?
¿Cómo se podria definir para que fuera continua en todo R ?

-La solucion bien concluida por mi parte se trata de una discontinuidad evitable en x=2 donde presenta un agujero, dado que la funcion f(2) (que anula el denominador) , no coincide con:

limites laterales:

Lim f(x) = 5
x→2⁺

Lim f(x) = 5
x→2^-

Bien una vez eso el ejercicio propone que definas la funcion para que sea continua en todo ℝ. ¿Es posible la siguiente opcion?
                                
crear esta funcion f(x)=    (x²  - 9x -14)/(x-2) si x ≠  2  y    5 si x=2                                           


o esta otra opcion: factorizas y optienes en el numerador (x-2)(x-7) entonces se anula el (x-2) en numerador y denominador, haciendo que la funcion sea continua en todo R . En este caso he simplificado, ¿pero en el otro caso me he inventado una funcion?
¿Qué opinan los que saben?

PD: Disculpen tengo problemas con el editor de formulas.

El razonamiento que haces en la primera parte no es correcto pues te basas en que se anula el denominador y llegas a la conclusión que como los límites laterales son finitos e iguales es una discontinuidad evitable.

Si se anula del denominador y sin embargo los laterales son finitos es porque se tienen que anular también el numerador. Luego debes simplificar ambas raíces para obtener el límite (como cuentas en la segunda parte de tu mensaje).

Es muy común en las pruebas de acceso a la universidad española poner trampas de este estilo. Es decir, se le pone al estudiante una parábola y se le hace creer que le han puesto una función con asintotas y demás. La forma (del engaño) es fácil, se pone la parábola deseada:

y = x² - 4 ( que como se sabe corta al eje X en ±2 y al eje Y en -4 (vértice)

Ahora le arrancamos un sólo punto (discontinuidad evitable), por ejemplo el x = 1. Para ello hacemos:

　　(x² - 4)·(x - 1)　　　x³ - x² -4·x + 4
y = ----------------- = -----------------
　　　　(x - 1)　　　　　　　　(x - 1)

Ahora parece una cosa seria cuando en realidad es la misma parábola a la que le hemos arrancado el punto (1, -3). Se trata de una discontinuidad evitable. Esa función puede escribirse también de esta forma:

y = (x² - 4) 　　si x ≠ 1

El método que utilizas en la segunda parte de tu mensaje es el correcto:

Una discontinuidad es evitable en x = a si:

Lim f(x) ≠ f(a) (bien porque exista f(a) y no sea igual al límite o porque no exista)
^x→a

Entiéndase que para que exista el límite deben existir los laterales y ser iguales (finitos).

Por cierto, si la quisieras hacer continua, la función sería:

y = (x² - 4) 　　si x ≠ 1
y = 　-3　　　　si x = 1

que en realidad es y = x² - 4 (sin más).

No hace falta que utilices el editor de fórmulas. A la izquierda tienes todos los símbolos matemáticos necesarios para los problemas:

Basta pinchar sobre ellos:

∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℤ / f(x)=y

El latex sólo lo utilizo para matrices y determinantes.