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Buenos días:
Me piden que diga si estas funciones están acotadas:

a) f(x) = 2x²
No está acotada superiormente,y acotada inferiormente en 0

b) f(x) = -√(1-x²)
No lo tengo claro

c)f(x) = 1/x

No lo tengo claro

Para hallar acotaciones,máximos,mínimos, ¿se puede hacer sin hacer la curva o es mejor con la curva?

Gracias.

Pues no se lo que es una funcion acotada, y a la pregunta que has puesto, yo sin esquema(el dibujo de lo que estoy haciendo) no soy capaz de hacer nada.
A ver si me puedes explicar lo que es una funcion acotada.

Una cota es un valor que no se sobrepasa.

cota superior de sen x: cualquier numero positivo igual o mayor que 1, puesto que el seno nunca vale mas de 1. A la cota superior mas pequeña se le llama extremo superior. El extremo superior de sen x es 1.

cota inferior de sen x: cualquier numero negativo igual o menor que -1. A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior. El extremo inferior de sen x es -1.

a) Cota superior no tiene. Cota inferior el 0 o cualquier numero negativo. Extremo inferior: 0

b) Como no existen raices de numeros negativos, para que exista la raiz 1-x² debe ser mayor o igual que cero. Lo mas grande que sera es cuando x=0 y la raiz valga 1. Lo menor posible sera cuando x²=1 y por tanto la raiz sea igual a cero.

Si la raiz puede variar solo entre 0 y 1, f(x) variara entre 0 y -1. Por tanto:

extremo superior : 0. Cota superior 0 o cualquier valor positivo

extremo inferior: -1. Cota inferior -1 o cualquier numero menor (es decir: -2, -5, -3/2 etc)

c) f(x) = 1/x. como x puede valer cualquier cosa vamos a ver a medida que va variando lo que pasa con la funcion. (Supongo que no habeis dado limites y que considerais que un numero dividido entre cero vale infinito. Si no es asi, la cosa varia un poco)

si x = -∞ ------> f(x) = 0
si x = -10 -----> f(x) = -0.1
si x = -1 -------> f(x) = -1
si x = -0.1 -----> f(x) = -10
y ahora sigue creciendo en valor absoluto y no tiene limite luego f(x) puede tomar valores entre -∞ y 0.

Si ahora probamos con valores positivos veras que sucede lo mismo, luego f(x) tomara valores entre 0 e ∞.

En resumen, f(x) tomara valores entre -∞ y +∞ luego no hay cotas superiores ni inferiores ni tampoco extremos

Decimos que una función está acotada superiormente si todos los valores de su recorrido son menores o iguales que un cierto número real K, al que llamaremos cota superior de la función. Desde el punto de vista gráfico, una función acotada superiormente tendrá su gráfica totalmente contenida en el semiplano que queda por debajo de una recta horizontal de ordenada K.

Diremos que una función está acotada inferiormente si todos los valores de su recorrido son mayores o iguales que un cierto número real, K, al que denominaremos cota inferior de la función. Desde el punto de vista gráfico, una función acotada inferioremente tendrá su gráfica totalmente contenida en el semiplano que queda por encima de una recta horizontal de ordenada K.

Diremos que una función está acotada cuando lo está superior e inferiormente.

Si una función está acotada superiormente, la más pequeña de todas sus cotas superiores recibe el nombre de extremo superior o mínima cota superior de la función y la representaremos mediante la expresión sup(f). Si, además, existe un punto a del dominio de la función tal que f(a)=sup(f), entonces se dice que esa cota es un máximo absoluto de la función, es decir, es el valor más grande que toma la función.

Si una función está acotada inferiormente, la mayor de todas sus cotas inferiores recibe el nombre de extremo inferior o máxima cota inferior de la función y la representamos mediante la expresión inf(f). Si, además, existe un punto a del dominio de la función tal que f(a)=inf(f), entonces se dice que esa cota es un mínimo absoluto de la función, es decir, es el valor más pequeño que toma la función.



La única función acotada de las que has puesto es la segunda que para un dominio de (-1,1) su recorrido (valores de f(x)) varía de 0 a 1.

Edito y corrijo: el recorrido es de -1, 0

Funciones acotada (w3.cnice.mec.es)

Galilei....las gafas. El recorrido de la segunda es -1,0. Luego los liamos y acaban peor de lo que empezaron.

Pues es verdad, no había visto el menos delante de la raíz. Corrijo el mensaje. Gracias.