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Este límite tengo que resolverlo y no sé muy bien por donde empezar.

Yo lo suelo hacer de esta manera, pero hay otras:

Hay que prepararse lo que hay detras del lim para ponerlo en la forma:

e = Lim (1 + 1/n)ⁿ
　n→ ∞

Para ello dividimos: 2x+5 entre 2x+7 y da de cociente 1 y de resto -2, por lo tanto:

Dividendo/divisor = cociente + Resto/divisor

que aplicado aquí es:

(2x+5)/(2x+7) = 1 - 2/(2x+7) = 1 + 1/[-(2x+7)/2] = K

lo que hay debajo del 1 (dividiendo) es lo equivalente a n en el primer lim escrito

Esto está elevado a 4x + 10:

Lim K^(4x+10)

Ahora debe aparecer lo que divide al 1 en el exponente. Para ello multiplicamos por eso y por su inverso:

Exponente = (4x+10)·[-(2x+7)/2]·[-2/(2x+7)]

Vamos por

K^exponente

(1 + 1/[-(2x+7)/2]) ^{(4x+10)·[-(2x+7)/2]·[-2/(2x+7)]}

Sabemos que

Lim (1 + 1/[-(2x+7)/2]) ^[-(2x+7)/2] = e

Nos queda en el exponente el resto después de quitar [-(2x+7)/2] que es:

(4x+10)·[-2/(2x+7)] = (-8x-20)/(2x+7)

cuyo lim cuando x tiende a inf es (-8/2)=-4

Luego la solución es:

e^-4

Nota: No es fácil explicar esto de esta manera. Lo siento. Pregunta lo que no entiendas.

Mírate esto, te ayudará a entender:

Lim del número e

En ese enlace en vez de dividir para que aparezca el 1 lo que hace es suma y restar 1. Es lo mismo.

Muchas gracias por la respuesta.
Voy a intentar digerir todo esto, y ya te pregunto. Un saludo

He estado mirando la página que me indicas y lo veo algo más claro que por tu método.Pero hay un paso que no lo veo claro.
Se trata de cuando se multiplica y divide al exponente por una expresión.

En el ejemplo 4:  multiplicamos el exponente (x+3)/-2  (No veo los pasos para que quede la expresión de abajo)

Gracias.

En los límites del número e hay que reducir la expresión que nos dan a la forma:

lim (1 + 1/f(x))^g(x)

Pero para que una expresión tenga como límite el número e se ha de cumplir que:

lim (1 + 1/f(x))^f(x) = e

Como en la expresión que nos dan no aparece f(x) en el exponente lo que hacemos es multiplicar por ella y por su inversa (multiplicamos por 1 en realidad), así que:

lim (1 + 1/f(x))^{g(x)·f(x)·(1/f(x))}

Ahora escribimos la expresión así:

lim [(1 + 1/f(x))^f(x)]^(g(x)/f(x))

Como el lim h(x)^q(x) = (lim h(x))^{lim q(x)}, tenemos que:

lim [(1 + 1/f(x))^f(x)]^(g(x)/f(x)) = [lim (1 + 1/f(x))^f(x)]^{lim (g(x)/f(x))} = e ^{lim (g(x)/f(x))}

Este es todo el proceso.

Solución al segundo ejercicio propuesto:

Lo primero es calcular el valor de:

(2n+5)/(2n+7) - 1 = -2/(2n+7)

Ahora lo multiplicamos por (4n+10) y da:

-2·(4n+10)/(2n+7) = (-8n-20)/(2n+7)

cuyo limite cuando n → ∞ es -8/2 = -4

La solución es:

e^-4

Eso es por culpa de la inflacion.

Antiguamente, con la matematica tradicional, -8/4 = -2

En el ejemplo 4) tienes en el exponente una x. Dividiendo al 1 está (x+3)/-2. Ésto tiene que aparecer en el exponente. Para ello multiplicamos la x del exponente por (x+3)/-2 y para que no digan que tú has puesto algo que te interesaba, por la cara, debes multiplicar por su inverso, -2/(x+3) (es como multiplicar por 1), nadie te dirá nada por hacer eso. Luego en el exponente queda:

x · (x+3)/-2 · (-2/(x+3))

El termino central (como exponente), junto con el (1 + 1/[(x+3)/-2] es el número e. Así este queda elevado al lim del resto que es:


Lim x · (-2/(x+3)) = -2

dando e^-2 = 1/e²