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Dada la funcion f(x) = (x²-4)²
representala calculando previamente:
a) Dominio y cortes con los ejes
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos
c) Curvatura y puntos de inflexión

Hola Yenni, he comenzado a estudiar este tema hoy pero veré si te puedo echar una mano.

Si desarrollas (x²-4)² te queda x⁴-8x²+16.
f(x)=y=x⁴-8x²+16, es una función polinómica, por lo que su dominio es todo R.

y=0 → los puntos decorte con el eje X, si sustituimos:
0=x⁴-8x²+16
Haciendo un  bicuadrada:
x²=z

0=z²-8z+16
z=4

x²=z
x=√4= ±2

Puntos de corte con el eje X -> (-2,0) y (2,0)

x=0→ los puntos de corte con el eje Y
y=0⁴-8·0²+16
y=16
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El apartado B no sabria hacerlo sin representarlo.


Puedes dar valores negativos a la x y veras que te salen numeros imaginarios (no se representan).

Intevalos de crecimiento:
(-2,0) y (2,∞)

Intervalos de descrecimiento:
(-∞,2) y (0,2)

Máximos:
No hay máximos (no se si el (0,16) lo es).

Mínimos:
Los puntos (-2,0) y (2,0), en este caso, los puntos de corte con el eje X.

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Curvatura y puntos de inflexión, no se lo que son.

Tengo un chivato que me dice los puntos de inflexión, serian:
(-1.17,6.86) y (1.15,7.16)

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Espera a Galilei para que te explique los puntos de inflexión y curvatura. Te aviso de que me he podido equivocar.

Corte con eje X:

f(x) = (x²-4)² = 0 ⇒ x = ±2

Corte con eje Y:

f(0) = 16

El dominio es R por ser un polinomio.






Máx y Mín. Crecimiento:

Derivada:

f'(x) = 2·(x²-4)·2·x = 4·x·(x²-4)

Ceros de la derivada:

f'(x) = 4·x·(x²-4) = 0 ⇒ x=0 ; x=±2

Estudio del signo de la derivada:

Desde -∞ < x < -2 ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f(x) es decreciente

Desde -2 < x < 0 ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f(x) es creciente

Desde 0 < x < 2 ⇒ f'(x) < 0 ⇒ f(x) es decreciente

Desde 2 < x < ∞ ⇒ f'(x) > 0 ⇒ f(x) es creciente

Por anularse y cambiar de signo (la derivada) concluimos que en:

x = -2 Mín (la curva pasa de Decrec a Crec)

x = 0 Máx (la curva pasa de Crec a Decrec)

x = 2 Mín (la curva pasa de Decre a Crec)

Estudio del crecimiento de la derivada. Puntos de inflexión.

Los puntos de inflexión de f(x) son los Máx y Mín de la derivada. Hacemos la segunda derivada:

f''(x) = 4·x·2·x + 4·(x²-4) = 8·x² + 4·x² - 16 = 12·x² - 16 = 4·(3·x² - 4)

f''(x) = 4·(3·x² - 4) = 0 ⇒ x = ±2/√3

Estudio del signo de la segunda derivada:

-∞ < x < -2/√3 ⇒ f''(x)>0 ⇒ f'(x) es Crec ⇒ f(x) tiene concavidad +

-2/√3 < x < 2/√3 ⇒ f''(x)<0 ⇒ f'(x) es Decrec ⇒ f(x) tiene concavidad -

2/√3 < x < ∞ ⇒ f''(x)>0 ⇒ f'(x) es Crec ⇒ f(x) tiene concavidad +

Por tanto los puntos de inflexión de f(x) son:

x = ±2/√3

jaja casiiiiiiiii  

No veas en el lio que te has metio para calcular los ceros:

(x²-4)² = 0

Hacemos la raíz a ambos lados de la igualdad para quitar el cuadrado:

x²-4 = √0 = 0

Se depeja la x:

x² = 4

Volvemos a hacer lo de la raíz:

x = √4 = ±2

Cuando tengas un polinomio factorizado como este no lo desarrolles para luego buscar las raíces.

joe pues no me di cuenta, gracias por aclarmelo.