Foros Ciencias Galilei

Hola, les pido por favor si me pueden ayudar con un tema de continuidad del último exámen ya que debo volver a darlo en marzo 08.

El ejercicio solicita estudiar la continuidad de la función:
f(x)= 1/2x si x<=2,  y
f(x)= (x-1) / (x-2) si x>2

Pregunta además si la fn es derivable en x=2. Justificar.

Hice el ejercicio, pero aparentemente no estaba correcto. Lo resolví así:

1) analicé la f(2)
2) busqué el lim x->0 f(2)
3) ¿f(2) = lim x->0 f(2)?

1) determiné que existe la fn en 2
2) los límites por derecha e izquierda me dieron +∞ => es dicontinua en el punto
3) como los dos puntos anteriores son distintos, determino que es una discontinuidad esencial.

No sé que me solicitan con "derivable". Yo probé de igualar las dos partes de la fn, hacer pasaje de términos hasta igualar a cero y me queda: 1/2x²-2x+1. Si reemplazo los valores de x por 2, puedo derivar la fn quedando como resultado: x-2. La unica justificación es que lo pude hacer y obtuve un resultado que parece correcto!

Gracias por la ayuda.

Esta función no esta definida en x=0 pues anula el denominador de f(x) si x≦2, Luego en x=0 no es continua ni derivable (No continua ⇒ No derivable).

Vamos a estudiar la continuidad en x = 2. F(2)= 1/4

Lim F(x) = Lim 1/(2x) = 1/4
x→2^- 　x→2

Lim F(x) = Lim (x-1)/(x-2) = 1/0⁺ = ∞
x→2⁺

Tampoco es continua ni derivable en x=2.

Derivable en un punto significa que la curva no esté quebrada en ese punto, que tenga la misma pendiente a ambos lados de él.