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Hola:



Esto que voy a hacer ahora es válido para   -π/2 ≤ ωt ≤ π/2. Es decir, para cuando la manivela
está a la derecha de punto O.

x = (3/2)·cos ωt         (cos ωt + ½·cos ωt)
y = ½·sen ωt

Las ecuaciones vienen referidas al punto O. Inicialmente (t=0) la posición inicial es (1,5;0). Paralelo al suelo.

La ecuación de la trayectoria es escribir 'y' en función de 'x'; para ello hay que eliminar 't':

2x/3 = cos  ωt
2y = sen ωt

Elevando al cuadrado:

(2x/3)² = cos² ωt
(2y)² = sen² ωt
-------------------------
(2x/3)² + (2y)² = sen² ωt + cos² ωt = 1

                               x²        y²
4x²/9 + 4y² = 1        ------ + ----- = 1
                             (9/4)     (1/4)

que es la ecuación de una elipse de semieje mayor 3/2 (√(9/4)) y menor 1/2 (√(1/4))

La velocidad es la derivada de la posición respecto a t:

Vx = dx/dt = -(3/2)·ω·sen ωt
Vy = dy/dt = (1/2)·ω·cos ωt

V = √Vx² + Vy² = √(9/4)ω²sen² ωt + (1/4)·ω²·cos² ωt =

= ½·ω·√9·sen² ωt + cos² ωt = ½·ω·√9·sen² ωt + (1 - sen² ωt) =

½·ω·√8·sen² ωt + 1

La aceleración es la derivada del vector velocidad:

ax = dVx/dt = -(3/2)·ω²·cos ωt
ay = dVy/dt = -(1/2)·ω²·sen ωt

La aceleración tangencial (módulo) es la derivada del módulo de la velocidad:

at = d|V|/dt = d(½·ω·√8·sen² ωt + 1)/dt =

    4·ω²·sen ωt·cos ωt          2·ω²·sen 2ωt               (*)
= ---------------------- = -------------------  
    √8·sen² ωt + 1)             √8·sen² ωt + 1)

(*)  sen 2ωt = 2·sen ωt·cos ωt

Sigue en el siguiente mensaje.

Cuando la manivela está a la izquierda, la manivela y la biela coinciden (se superponen), el embolo se para en O y la posición del punto M es:

π/2 < ωt < 3π/2



x = ½·cos ωt
y = ½·sen ωt

La ecuación del movimiento es:

4x² + 4y² = 1         =>    x² + y² = 1/4

que es la ecuación de una circunferencia de centro O y radio 1/2.

Vx = -½·ω·sen ωt
Vy = ½·ω·cos ωt

V = √Vx² + Vy² = ½·ω          at = d|V|/dt = 0

ax = -½·ω²·cos ωt
ay = -½·ω²·sen ωt

a = √ax² + ay² = ½·ω² = ac

Es decir, el movimiento del punto es distinto para cuando la manivela está a la derecha o izquierda de la vertical de O. Si está a la derecha describe una elipse y si está a la izquierda describe una circunferencia de radio 1/2. En este últimos caso la velocidad es constante en módulo y no tiene aceleración tangencial.

La ecuación del mivimiento se podría escribir así:

x = cos ωt + ½·|cos ωt|          (|cos ωt| valor absoluto)
y = ½·sen ωt

Otra forma de sacar la ecuación de la trayectoria (menos física) es:

x = cos ωt + ½·|cos ωt|          (|cos ωt| valor absoluto)
y = ½·sen ωt

sen ωt = 2y      cos ωt = √1 - sen² ωt = √1 - 4y²

Sustituyendo:

x = ±√1 - 4y² + ½·|√1 - 4y²|

Cuando tomamos el signo + nos sale la ecuación de la elipse:

x = (3/2)·√1 - 4y²        (mensaje 1)

Cuando tomamos el signo - nos sale la ecuación de una circunferencia:

x = (-1/2)·√1 - 4y²    (mensaje 2)

muchísimas gracias     Me gustaría que fuera mi profesor de dinámica, excelente