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Mensaje 25 Nov 09, 19:25  15041 # 1



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PREU

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PREU 

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Demostrar que el cuerpo B consume menos tiempo en llegar  a D partiendo desde el punto C que el cuerpo  A. (El cuerpo A, tambien parte desde  D y llega al punto C), no existe friccion  en las superficies. Cabe recalcar que A recorre el Segmento CD y B recorre el arco CD. Ademas que  ambos parten con velocidad inicial cero. Y simultaneamente.

ImagenImagen


Vivir es Hermoso.

 Última edición por Gato el 27 Nov 09, 20:15, editado 1 vez en total 
          
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Mensaje 26 Nov 09, 22:17  15046 # 2


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Hola, antes de contestar tu pregunta debes subir bien la imagen. Para ello lee las NORMAS..


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 26 Nov 09, 22:31  15054 # 3


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Sobre todo lee lo de 'subir imagen' en las normas. Te lo he puesto yo pero tienes que aprender a hacerlo tú, no es difícil.


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"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
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Mensaje 29 Nov 09, 04:46  15094 # 4


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Voy a hacerlo hasta donde he llegado...

Arco = A = θ·R

dA/dt = V = R·dθ/dt

dt = (R/V)·dθ

Ahora bien, la velocidad es:

h = R·sen θ   (h es la altura que cae la bola, desde la horizontal, posición inicial)

Imagen

V = √2gh = √2gR·sen θ

luego:
                        R·dθ
dt = (R/V)·dθ = --------------
                      √2gR·sen θ

                   π/2    dθ
t = √(R/2g) · ∫ -------------
                  0     √sen θ

Y esa maldita integral no me sale.

Lo fácil es calcular el tiempo que tarda por el segmento para luego compararlo con el que tarda por el arco.

Nota: Puede que esté cometiendo un error del cual no me percato.  :doh:


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Mensaje 29 Nov 09, 22:48  15105 # 5


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Creo que esto puede ayudar:

Primero,diré en que consiste el Principio de Mínima Acción.

Se define la Acción S como una magnitud en términos del tiempo,la energía cinética y potencial, de la siguiente forma:

  tb
S=∫[1/2m(dx/dt)2-V(x(t))]dt
  ta

Luego, el principio dice que para un sistema físico, éste recorre una trayectoria que hace míminima a S.Ahora definimos la cantidad L=1/2m(dx/dt)2-V(x(t)) como el Lagrangiano, así, la función que cumple el Ppio de Mínima Accion es:

(∂L/∂qi) - d/dt(∂L/∂q'i) = 0
(1)

Donde los qi son las coordenadas y las q'i con punto son las derivadas.

La cantidad L puede ser cualquier funcion f(x,t).

Ahora vamos a hallar un diferencial de longitud para cualquier trayectoria:

dl=dxax+dyay

Cuya norma es:

dl=(dx²+dy²)1/2=[1+(dy/dx)²]1/2

Así, la longitud total es:

l=∫[1+(dy/dx)²]1/2dx

Para que la longitud sea mínima, se debe cumplir que f(x,y)=[1+(dy/dx)²]1/2= √(1+y'²)

Luego, esta función debe cumplir la ec (1):

(∂L/∂qi) - d/dt(∂L/∂q'i) = 0

Vemos que df/dx=0 y

(∂f/∂y') = y'/√(1+y'²)

Desde ahora llamaré a y', Y.

De la ec (1) tenemos d/dx(df/dY)=0 => df/dY=constante.

=> Y/√(1+Y²)=c

=>Y²=c²(1+Y²) => Y=c/√(1-c²)=constante=a

Así, Y=dy/dx=a por lo que y=ax+b

Esto demuestra que la distancia más corta es la línea recta y por ende la que toma menos tiempo.


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 29 Nov 09, 23:22  15107 # 6


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Cita:
"Esto demuestra que la distancia más corta es la línea recta y por ende la que toma menos tiempo."


Sí Jorge, pero es que es al contrario, hay que demostrar que el cuerpo que recorre más espacio (arco), el B, tarda menos tiempo que el que sigue la linea recta (segmento), el A.


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Mensaje 29 Nov 09, 23:38  15109 # 7


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Creo que falta algo:

La velocidad en ambos casos será la misma ya que no hay fuerzas disipativas y la energia se debe conservar, ahora bien, al ser un Movimiento Acelerado, se cumpl, si parte del reposo que:

x=1/gt2  y v=2gx => x²=1/2vt² Por lo que t=(2/v)1/2x.

Y como se demostró que el segmento CD es la trayectoria más corta, el tiempo en recorrerla igualmente lo será, como lo muestra la relación anterior.


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 29 Nov 09, 23:46  15110 # 8


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Cita:
"x=1/gt2  y v=2gx => x²=1/2vt² Por lo que t=(2/v)1/2x"


Eso sólo es sólo válido para el movimiento uniformemente acelerado (para el segmento) pero no para el arco. De eso de trata de calcular el tiempo que tarda por el arco.

Es por eso que la velocidad final por el arco nunca se hace por dinámica, por lo complicado que es debido a que 'a' no es uniforme.


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Mensaje 29 Nov 09, 23:55  15111 # 9


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Como me odio!!..jejejeje...Cambiaré la demostración por esta:

Hallar la curva que une dos puntos a lo largo de la cual una partícula que cae bajo la accion de la gravedad inicialmente en reposo toma el mínimo tiempo posible.

Sol:

La velocidad es dl/dt => dt=dl/v=(1+y'²)1/2dx/(2gx)1/2

Luego:

∫dt=∫(1+y'²)1/2dx/(2gx)1/2

=> t= 1/√(2g)∫√[(1+y'²)/x]dx => f=√[(1+y'²)/x]

Así: df/dy=0 y df/dy'=(1+y'²)-1/2y'/x

=> d/dx[(1+y'²)-1/2y'/x]=0 => y'/(√x√(1+y'²))=cte=1/√(2a)

Entonces: y'²=x/[2a(1-x/2a)]=x²/[2ax-x²]

=> ∫dy=∫xdx/√[2ax-x²]

Sea x=a(1-cosθ) => dx=asenθdθ

=> ∫dy=a∫(1-cosθ)dθ=a(θ-senθ)+C

Por lo que tenemos las ecuaciones paramétricas:

y=a(θ-senθ)+C

x=a(1-cosθ).........Ecuación de una Cicloide!!

Así, que según veo, sería por el arco en donde toma menos tiempo.. :think:

Ya me hice bolas!!... :~:


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 29 Nov 09, 23:59  15112 # 10


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Es la segunda demostración. Aqui se dice por qué:


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