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Mensaje 06 Oct 07, 00:31  2824 # 1



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Hola, otra vez aquí con un problema de vectores/derivadas, aver si me podeis ayudar un poquito :D :
Enunciado: :!:
Un móvil se desplaza sobre el plano XY tal como indican las ecuaciones paramétricas:
X= 3.t3- 1/2 . t2+ 6
Y= 6. t2 + sen( 2.t )
Z= 0

a. Calcula la velocidad y la aceleración del móvil en cualquier instante.
b. Concreta el resultado para el instante t= 15 s.



Apartado a: :?:
  1. Primero saco el vector de posición:
    r= (3.t3- 1/2.t2 + 6 )i + [ 6.t2+ sen(2.t)] j
  2. Después, derivo para sacar vinstantánea:
    vinstantánea= (9.t2 - t)i + (12.t + cos.2)j
  3. Después de sacar la vinstantánea saco la ainstantánea, que es, la derivada de la vinstantánea:
    ainstantánea= (18.t - 1) i + 12 j
Apartado b: :?:
  1. Sustituyo t como 15 s las ecuaciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración.
  2. Posición:
    r= 10,125 - 118.5 i + 1,350 + 0.5 j
    r= 10,006.5 i + 1,359.5 j
  3. Velocidad:
    v= ( 2,025 - 15 ) i + / 180 + cos2 ) j
    v= 2,010 i + 179 j
  4. Aceleración:
    a=( 270 - 1 ) i + 12 j
    a= 269 i + 12 j



    Dudas: :idea:
  1. Una cosa que debería saber es si las ecuaciones paramétricas es lo mismo que decir ecuaciones de la trayectoria.
  2. Otra duda sería saber en que me equivocado ... los numeros me salen enormes ... yo creo que he derivado mal.
  3. Y otra cosa que me podrías decir es cual es la forma de la trayectoria ( Hipérbola, parábola, rectilínea ... )
          
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Mensaje 06 Oct 07, 01:27  2825 # 2


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Cometes un error al hacer la derivada del sen (2·t).

La derivada del seno de una función es la derivada de la función por el coseno de ésta. Es decir:

Sea u una función de t y queremos derivar sen u respecto de t. Por aplicación de la regla de la cadena tendríamos que:

y = sen u ⇒ y' = u'·cos u

siendo y' y u' las derivadas de y y de u respecto a t, respectivamente.

y = cos u ⇒ y' = -u'·sen u

Tabla de derivadas (pdf)

Ejemplo:

y = sen (2·t²+t-1) ⇒ y' = (4·t+1)·cos (2·t²+t-1)

Por lo tanto, en nuestro caso:

r = (3·t³- 1/2·t² + 6 ) i + (6·t²+ sen (2·t)) j

V = (9·t² - t) i + (12·t + 2·cos (2·t)) j

y la aceleración total sería:

a =  (18·t - 1) i + (12 - 4·sen (2·t)) j


Para calcular la ecuación de la trayectoría hay que eliminar t de ambas ecuaciones paramétricas y expresar y = f(x)

Por ejemplo (una dimensión), si:

x = 3·t+1
y = t²

entonces de la primera t = (x-1)/3. Sustituyendo en la segunda:

y = (x-1)²/9

Esta sería la ecuación de la trayectoria. El camino seguido por el cuerpo en movimiento.

Boli escribió:
Y otra cosa que me podrías decir es cual es la forma de la trayectoria ( Hipérbola, parábola, rectilínea ... )


En el problema que me planteas no es nada fácil eliminar el tiempo de ambas, con lo que es difícil predecir si será una cosa u otra.

Las ecuaciones del movimiento te dan información de donde se encuentra el cuerpo en el plano o espacio (posición) en función del tiempo.


Nota: Intenta utilizar para el producto el puntito que está en la tecla del número 3 (arriba), presionando simultaneamente la Alt-Gra.


ImagenImagen
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Mensaje 06 Oct 07, 01:49  2826 # 3


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Esto está hecho con el programa "Derive" para t desde 0 a 50 s:

Imagen


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Mensaje 06 Oct 07, 01:52  2827 # 4


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Vale, ya lo e leido tres veces y lo e llegado a comprender. El error a sido mio, cojí un ejecicio cualquiera para practicar un poco y esa  derivada exactamente no nos la enseñaron.
Me base en:
y= cosα
dy/dx = -senα
o
y= senα
dy/dx= cosα
Por lo que volveré a hacer el ejercicio, me quedaré con la derivada y me iré a dormir ^^.
          
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Mensaje 06 Oct 07, 01:58  2828 # 5


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No te aprendas las derivadas de sólo funcion de x. Aprendetelas para las que sean funciones cualesquiera de x.

y = sen x ⇒ y' = cos x

sólo te sirve para eso, la x. Mientras que:

y = sen u ⇒ y' = u'·cos u

te sirve para x y para otras funciones que no lo sean.

Arriba te he dejado un enlace a la tabla de derivadas.


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Mensaje 06 Oct 07, 02:14  2829 # 6


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Si, ya ví el enlace, estoy bajando el acrobat ... que nose porque no lo tenía.
Gracias por ayudarme. Me apetecía hacer física y no sabía que ejercicio hacer ... cojí uno que no debía, pero bueno ... ya se otro tipo mas de derivadas.
          
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Mensaje 06 Oct 07, 02:38  2830 # 7


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Andrés, tengo una duda sobre el plano XY que me has puesto.
r= ( 3 · t 3 - 1/2 · t2 + 6 ) i + ( 6·t2+sen (2·t))j

Si, t= 50 la ordenada de las X en total sale 373,747 y el máximo del plano es 250 ... nose que es lo que pienso mal ...  
:oops:
          
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Mensaje 06 Oct 07, 09:22  2831 # 8


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Lo que pasa es que la gráfica está cortada y los valores que aparecen de la (x,y) son para:

0 < t < 4,38 . No me di cuenta de eso. Tu razonamiento es correcto.


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