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Operador autohermítico (UNI)
Foro: * Cuántica *
Autor: Crushed
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Mensaje 10 Jun 12, 12:44  27368 # 1



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En el Weinberg ("The quantum theory of fields" volumen 1) se dice lo siguiente:
Sea H un espacio de Hilbert y sea el operador   1+iεt   donde:

     1  es el operador identidad, esto es,  1(ψ) = ψ
     t  es un operador
     ε es un número real
     i es el número complejo  i

Entonces para que el operador  1+εt   sea unitario y lineal, t debe ser hermítico y lineal. ¿Cómo se demuestra ésto?
          
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Mensaje 14 Jul 12, 04:00  27656 # 2


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Veamos.

SI t es un operador, para que sea hermitiano, se debe cumplir que

< x,ty > = < t*x,y >    (1)

Y para que sea lineal:

t[a|x>+b|y>]= at|x>+bt|y>   (2)

Y para que sea unitario:

t-1=t+     (3)

Es decir, su inverso tiene que ser igual a su adjunto (conjugado del traspuesto)

La linealidad del operaador, es fácil de probar:

(1+et)[a|x>+b|y>]=1(a|x>+b|y>)+et(a|x>+b|y>) -----------> dada la linealidad de la suma

Para que se cumpla la condición (2), teniendo en cuenta que 1 es lineal y "e" es un número, necesariamente t debe ser lineal.

Probemos que es hermitiano:

< x,(1+et)y >= <x,1y+ety> ----------------> dijimos que es lineal.

=<x,1y>+e<x,ty> -------------------------> de las propiedades del producto interno.

EL primero miembro contiene el operador 1, que en sí mismo es hermitiano, así para que toda la igualdad sea "hermitiana" <x,ty> debe ser hermitiano, luego, t debe cumplir con dicha propiedad.

Éxitos!!!...


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 17 Jul 12, 20:21  27669 # 3


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Gracias por la respuesta, pero sigo teniendo dudas. Creo que la respuesta demuestra que el operador "1+εt" es hermítico si y solo si el operador "t" es hermítico. Pero lo que había que demostrar es que si el operador "1+εt" es unitario entonces el operador "t" es hermítico.

Resumiendo, está claro que el operador lineal "1+εt" es hermítico si y sólo si el operador lineal "t" es hermítico.

Pero cómo se demuestra que si el operador lineal "1+εt" es unitario entonces el operador lineal "t" es hermítico ??

Gracias y un saludo.
          
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Mensaje 18 Jul 12, 04:47  27670 # 4


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Que ha pasado?. No veo el resto de la demostración !!. Al parecer se ha borrado o no la envié bien.

Ahora edito el mensaje.

Éxitos!!!...


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
       


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