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Tiempo en que el electrón colapsa con el núcleo (UNI)
Foro: * Cuántica *
Autor: Jorge Quantum
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Mensaje 19 Mar 11, 00:27  22739 # 1



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Hola, pués resulta que me mandaron, hace un par de días, un ejercicio cuyo enunciado es tan simple como:

Calcular la energía electroestática del nucleo del uranio sabiendo que la pareja de cargas mas alejadas entre sí tienen un diametro de 10 cm.

Es decir imaginemos una esfera (que sería el nucleo) pues una carga que esté en el extremo de la cara éste del núcleo dista a 10cm de la cara que está en el otro extremo (cara oeste)

Graficamente tenemos que si éste es el nucleo (. .)
Imaginemos que los puntos son las cargas que se encuentran más al extremo, pues una carga en el extremo izq dista a 10 cm de una del extremo derecho (. 10cm .)

Bien, sabemos que el uranio tiene numero atómico 92. Pues aplicando la formula de la carga electrostatíca --> K (q1*q2)/r tendriamos que aplicarla carga a carga lo cual nos conllevaría media vida porque tendriamos que realizar una sumatoria de 4100 ecuaciones (92*45).

La solución se que se encuentra aplicando el método de montecarlo que sería en vez de coger 92 cargas coger 10 al azar que representarian un 9.2% del total. Y con ellas calcular el resultado. Pero a pesar de que estoy harto de buscar no consigo nisiquiera hilar el problema... No doy pie con bola de como resolverlo.

Un saludo a todos. Espero que haya alguna mente iluminada que sepa o más que sea me entienda xD jeje.
          
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Mensaje 21 Mar 11, 03:13  22775 # 2


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Puede ser algo asi:

Supongamos un origen de coordenadas en el centro del núcleo esférico del Uranio. La distancia entre dos cargas sería d=(x²+y²)1/2. Lo que haremos es escoger pares, hallar la distancia y calcular la energía, luego, sumar todas las contribuciones.

Sabemos que la distancia máxima desde el origen sería 5cm, así que necesitamos generar números aleatorios entre 0 y 5. Si r es un número aleatorio entre 0 y 1, entonces un número aleatorio entre 0 y 5 está dado por

dist=5r

Implementemos esto en Matlab. Generaremos números aleatorios i-veces, luego hallaremos la energía i-ésima para un par de cargas y finalmente sumaremos cada iteración. Supongo que el código sería asi (tienes q revisarlo):

N=input('Digite el Número de cargas a analizar');

for i=1:N
  r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
  r2=rand;
  x=0.5*r1;
  y=0.5*r2;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%

 dist=sqrt(x^2+y^2);
 E(i)=Kq²/dist;   %Debes definir K y q%
end

Ener=sum(E) %Te da la energía de interacción total%

Lo he hecho analizando 10.000 cargas y me da una energía de interaccion de  8.325×10-24J.

Revisa y lo discutimos..

Éxitos!!!...


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 21 Mar 11, 03:40  22776 # 3


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Creo que hay un error. Al hacer

 x=0.5*r1;
 y=0.5*r2;

Sólo estoy generando cargas en el primer cuadrante del espacio. Lo que habría que hacer es generar numéros aleatorios entre -0.5 y 0.5, lo cual me daria el nuevo código:

N=input('Digite el Número de cargas a analizar');

for i=1:N
 r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
 r2=rand;
 x=-0.5+r1;
 y=-0.5+r2;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%

dist=sqrt(x^2+y^2);
E(i)=Kq²/dist;   %Debes definir K y q%
end

Ener=sum(E) %Te da la energía de interacción total%


Con esto me da que la energía es  8.1243×10-24J

Éxitos!!!...

PD: Con este algoritmo estoy hallando la energía de interacción entre pares de cargas, es así como planteas el problema??...


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 21 Mar 11, 05:12  22777 # 4


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Jorge Quantum escribió:
Creo que hay un error. Al hacer

 x=0.5*r1;
 y=0.5*r2;

Sólo estoy generando cargas en el primer cuadrante del espacio. Lo que habría que hacer es generar numéros aleatorios entre -0.5 y 0.5, lo cual me daria el nuevo código:

N=input('Digite el Número de cargas a analizar');

for i=1:N
 r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
 r2=rand;
 x=-0.5+r1;
 y=-0.5+r2;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%

dist=sqrt(x^2+y^2);
E(i)=Kq²/dist;   %Debes definir K y q%
end

Ener=sum(E) %Te da la energía de interacción total%


Con esto me da que la energía es  8.1243×10-24J

Éxitos!!!...

PD: Con este algoritmo estoy hallando la energía de interacción entre pares de cargas, es así como planteas el problema??...


Joeeee Jorgue, muchísimas gracias. No manejo el Matlab pero ahora mismo voy a probar tú código, yo estoy recién empezando mi primer año de carrera y en mi univ utilizamos un sosware de open source (WxMáxima).
Aunque no es realmente la solución del problema de verdad que te agradezco la molestia. Lo que necesitaría hallar no es la energía electrostática entre pares de cargas, si no entre todos los pares posibles que hay bajo un numero de 92 cargas. Es decir K*(Q1*q2)/r + k*(Q1*q3 )/r ... + k(Q2*q3)/r + k*(Q2*q4)/r ....

Todas las parejas posibles de cargas que se pueden emparejar bajo un numero de 92 cargas. Y así hallaría la energía electrostática del núcleo de uracio de 10cm de diametro. La solución podría ser como dije utilizar el método de Montecarlo con el cual en vez de coger 92, cogerías una porción porcentual y al azar de cargas. Pero el problema aquí reside en como hallar la distancia de esas cargas al azar que cogemos.
Por lo que he avanzado hay dos formas de hacer el problema pero no logro solucionarlo. Las expongo aquí para ver si alguien me ayuda:

No es recomendable usar la ley de Coulomb (para calcular la fuerza), sino:

Imagen

Pero, aun mejor, si se considera la esfera como una distribución continua de carga uniforme y esférica de radio la mitad de la separación máxima que te dan, con carga total 92e. Al considerar así el núcleo puedes calcular al campo electrostático mediante la ley de Gauss y calcular la energía:

Imagen

donde "esp" significa extendida a todo el espacio y "dr" es un elemento (diferencial) de volumen. Hay un fallo en la ecuación de arriba solo pongo "r" pero es "dr".

Pero aún con esto, no reuno los conocimientos sucidientes en materia de cálculo para actuar con soltura, aplicarlos y resolverlo.
Un saludo a todos!!
          
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Mensaje 21 Mar 11, 08:09  22778 # 5


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Entiendo. Lo que necesitas es dada la posición de una carga, hallar la energía de interacción con las otras.

Podríamos generar una posición aleatoria de una carga y luego generar 91 posiciones aleatorias más y mirar las distancias entre cada posición y la primera de ésta, luego guardar todo esto en un vector y finalmente sumarlo. El codigo se modificaría solo un poco, creo:



N=input('Número de Veces que desea hacer la medida ');
for j=1:N
r01=rand;
r02=rand;
r03=rand;
x0=-0.5+r01;
y0=-0.5+r02;
z0=-0.5+r03;
K=9*10^9;
q=1.602*10^-19;
for i=1:91
r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
r2=rand;
r3=rand;
x=-0.5+r1;
y=-0.5+r2;
z=-0.5+r3;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%


if x^2+y^2+z^2<=(0.5)^2 %Hace que todo esté dentro de una esfera de radio 0.5%
   dist0=sqrt(x0^2+y0^2+z0^2);
   dist=sqrt(x^2+y^2+z^2);
   if dist~=dist0 %Si las posiciones son distintas%

E(i)=(K/2)*q^2/abs(dist-dist0);   %Aquí supongo que las cargas son iguales e igual a la carga del electrón%

   end
  
hold on;
plot3(x,y,z,'.')
grid on
hold off;
end


end

Ener(j)=sum(E); %Te da la energía de interacción total%
end
Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %


He hecho varias veces el experimento 100 veces, el cual me ha arrojado los resultados:

3.1984e-025 J ;  3.2111e-025 J ; 2.5410e-025 J ; 3.7679e-025 J ; 3.4321e-025 J ; 7.6376e-025 ; 2.7494e-025 J ; 3.3303e-025 J.

Notarás que hay un valor promedio cerca de 3.

La gráfica de los TODOS los puntos que ha tomado es la siguiente:

Imagen


Notarás que se ha hecho una distribucion casi uniforme sobre la esfera, es decir, se han tomado muchas posiciones aleatoriamente. Ahora bien, la medida mejorrará al aumentan N. Si quierees esto, te recomiendo que quites las siguientes líneas

hold on;
plot3(x,y,z,'.')
grid on
hold off;
end


Para que no grafiques y no se demore mucho el programa.

Si tienes la respuesta súbela, para saber si hay que modificar el algoritmo.

Éxitos!!!...


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
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Mensaje 21 Mar 11, 19:53  22779 # 6


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Te comento Jorgue la idea es buena, salvo que las distancias relativas están mal calculadas: las distancias relativas no son la diferencia de las distancias al origen, serán sqrt((x-xo)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2). Tampoco tienen por qué tener distintas distancias al origen, sólo que no tienen que coincidir los puntos. Y faltan muchos sumatorios...
Eso es lo que pude hoy averiguar en la univ con tu propuesta. A ver si lo conseguimos para antes de mañana. Y si no pues le pido a ver si el profe me da más plazo. Un saludoo grannde!!
          
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Mensaje 21 Mar 11, 20:00  22780 # 7


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Te voy a explicar lo que hace el código, linea a linea:

N=input('Número de Veces que desea hacer la medida ');
for j=1:N
r01=rand;
r02=rand;
r03=rand;
x0=-0.5+r01;
y0=-0.5+r02;
z0=-0.5+r03;
K=9*10^9;
q=1.602*10^-19;


La idea es hacer la medicion de la energía N veces y el programa te está pidiendo cuantas veces quieres hacer dicha medida con el objeto de hacer al final un promedio. El for j=1:N es el que cuenta los experimentos llevados a cabo.

Las líneas de la 3 a la 8 nos generan una posición aleatoria de una carga y se calculará la energía de interacción con esta carga. En cada experimento la posición cambiará, lo cual es bueno, porque no habrá un sitio preferencial de ésta.

Las otras dos líneas me definen la carga y la constante elétrica.

for i=1:91
r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
r2=rand;
r3=rand;
x=-0.5+r1;
y=-0.5+r2;
z=-0.5+r3;


El for i=1:91 me iniciará a generar i-cargas (91 en total) y las otras 6 líneas definirán las posiciones de esas cargas aleatoriamente.

if x^2+y^2+z^2<=(0.5)^2
  dist0=sqrt(x0^2+y0^2+z0^2);
  dist=sqrt(x^2+y^2+z^2);
 
if dist~=dist0
E(i)=(K/2)*q^2/abs(dist-dist0);  
  end


La primera línea me asegura que los puntos generados estén dentro de la esfera (los que estén por fuera será rechazados, por eso es bueno hacer el experimento varias veces). Si se cumple esta condición, la función dist0 está hallando la distancia de la carga de referencia al origen y la función dist halla la distancia de cada carga generada al origen.

Ahora, se pregunta si ambas distancias son distintas ( if dist~=dist0), es decir, no está hallando la interacción de la carga de referencia con sigo misma. Si esto se cumple, pues simplemente se usa la fórmula que has puesto para la energía, la cual guardo en un vector para luego usarla.

Ener(j)=sum(E); %Te da la energía de interacción total%
end
Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %


Aquí tomo la suma de todas las interacciones con cada carga (energía total) y lo guardo como dato de cada experimento. Al final tomo todos los resultados de cada experimento y simplemente saco un promedio aritmético.

Espero haber sido claro.

Éxitos!!!...


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Mensaje 21 Mar 11, 20:33  22782 # 8


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Joselito333 escribió:
Te comento Jorgue la idea es buena, salvo que las distancias relativas están mal calculadas: las distancias relativas no son la diferencia de las distancias al origen, serán sqrt((x-xo)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2). Tampoco tienen por qué tener distintas distancias al origen, sólo que no tienen que coincidir los puntos. Y faltan muchos sumatorios...
Eso es lo que pude hoy averiguar en la univ con tu propuesta. A ver si lo conseguimos para antes de mañana. Y si no pues le pido a ver si el profe me da más plazo. Un saludoo grannde!!


Tienes razón. No habia notado que la fórmula que pones está hecha vectorialmente, por lo que la distancia relativa se calcula como dices.

La parte de que no coincidan los puntos se puede arreglar (dado que la distancia esta mala) de la siguiente forma:

N=input('Número de Veces que desea hacer la medida ');
for j=1:N
r01=rand;
r02=rand;
r03=rand;
x0=-0.5+r01;
y0=-0.5+r02;
z0=-0.5+r03;
K=9*10^9;
q=1.602*10^-19;
for i=1:91
r1=rand; %Te genera un número aleatorio entre 0 y 1 con una distribución plana%
r2=rand;
r3=rand;
x=-0.5+r1;
y=-0.5+r2;
z=-0.5+r3;

%Pongo 0.5 para que me de en unidades SI%


if x^2+y^2+z^2<=(0.5)^2 %Hace que todo esté dentro de una esfera de radio 0.5%
 
  if sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2)~=0
      dist=sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2);

E(i)=(K/2)*q^2/dist;   %Aquí supongo que las cargas son iguales e igual a la carga del electrón%

  end

 
hold on;
plot3(x,y,z,'.')
grid on
hold off;
end


end

Ener(j)=sum(E); %Te da la energía de interacción total%
end
Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %



Etotal=sum(Ener)/N %Hace un promedio de las N medidas %


Y no veo lo de las sumas. Cuando hago el for i=1:N genero i-cargas en i-posiciones distintas, las cuales me dan i-energías, que pongo en un vector de la forma

E=[E1,E2,E3,...,E91]

Y el comando sum(E) hace lo siguiente

sum(E)=E1+E2+E3+...+E91

Que es igual a la suma que planteas.

Todo esto da la energía de interacción promedio de todas las 91 cargas con la carga en posición (x0,y0,z0) al haberla medido en N experimentos con distribuciones de carga aleatorias.

Éxitos!!!...


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Mensaje 22 Mar 11, 22:38  22788 # 9


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Es que la energía electrsotática del núcleo es la suma para todas las cargas. Cuando te puse la expresión:

Imagen

el suamtorio es doble (para los índices i y j). Te lo escribo de otra forma para que lo veas mejor:

Imagen

porque cada carga interactúa con todas las demás (excepto ella misma) y no sólo con la que está en (x_0,y_0,z_0).
          
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Mensaje 23 Mar 11, 04:42  22790 # 10


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Por eso es bueno ser explícito  :wink: .

Veamos que te parece este código:

x=-0.5+rand(1,92);
y=-0.5+rand(1,92);
z=-0.5+rand(1,92);
k=9*10^9;
q=1.602*10^-19;

for i=1:92
   x0=x(i);
   y0=y(i);
   z0=z(i);
  
   for j=1:92
       X=x(j);
       Y=y(j);
       Z=z(j);
       if (X-x0)^2+(Y-y0)^2+(Z-z0)^2<=(0.5)^2
          dist=sqrt((X-x0)^2+(Y-y0)^2+(Z-z0)^2);
         if dist~=0
           E0(j)=(k/2)*q^2/dist;
         end
       end
    
   end
        E00(i)=sum(E0);
end

Etotal=sum(E00)


Las primeras líneas hacen tres vectores de posiciones en x, y e z entre 0.5 y 0.5.

Luego se entra a un ciclo, en donde se mira la i-ésima partícula de coordenadas x(i), y(i) y z(i).

Ahora se pasa a un nuevo ciclo en donde se calcula la distancia entre las coordenadas antes mencionadas con las coordenadas x(j), y(j) y z(j). Luego se pregunta si los puntos a considerar están dentro de la esfera, si es así, se pregunta si no se está calculando la distancia al mismo punto, si nos dice que es un punto distinto, halla la energía de interacción de la partícual i-ésima con cada partícula. Cada energía se guarda en la posicion de un vector de j-componentes.

De esta forma, la i-ésima energía de interacción, o la energía de interacción de la partícula i con el resto de particulas, es la suma de las energía del vector mencionado anteriormente. Cada energía de interacción se guarda en un vector de i-componentes.

Finalmente, la energía total será la suma de  las energías de interacción de cada partícula con el resto, es decir, la suma de las energías del vector de i-coordenadas.

Analiza el código y mira que posibles errores hay...

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