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Buenas a todos!

Os traigo este problemilla tipico de aplicación de Gauss, pero con un apartado que me está dando bastante guerra:

"Una esfera de radio R y de masa M tiene una densidad de carga no uniforme que varía de acuerdo con la expresión ρ(r) = ar, donde a es una constante positiva y r es la distancia radial al centro de la esfera. A) Calcular y representar el campo eléctrico en cualquier punto del espacio. B) Calcular el potencial eléctrico para cualquier punto del espacio en cualquier punto del espacio, C) Calcular la energía potencial eléctrica acumulada en el sistema. D) Si dicha esfera se partiese en dos mitades simétricas e iguales, calcular la velocidad que adquirirían tras alejarse mucho entre ellas después de repelerse."

Con los apartados a, b y c no tengo problema: es aplicar gauss justamente justificado y comprobar la carga encerrada para región. Siento por no poner fórmulas, pero no tengo ni idea de como se pone por aquí.

Pero bien para el apartado d), vienen los problemas. Mi planteamiento inicial fue el aplicar obviamente la conservación de la energía entre dos momentos: tras un incremento infinitesimalmente pequeño de tiempo tras cortar la esfera y suponer que la energía potencial eléctrica existente en ese punto sería la energía potencial que estaba acumulada en la esfera. Cuando las esferas se encontraban ya muy alejadas, la interacción entre ellas era ya despreciable con lo que la energía potencial del sistema formada por ambas semiesferas sería 0. Sin embargo pensando en ello, lo que tiene que ver no es la energía potencial eléctrica que había acumulada en la esfera pensé, puesto que seguiría estando en ambas semiesferas cuando se alejasen mucho.

Entonces habría que calcular que energía potencial de INTERACCIÓN hay entre ellas inicialmente y final (que va a ser 0). Pero claro, solo se me ocurre hacer eso de una forma aproximada por que el cálculo integral queda descartado: ya no podria aplicar gauss y habria que recurrir a integrales muy complejas...

Que opinais? Alguna manera de hacerlo exacto sin tener en cuenta la integracion?

Si alguien supiera por favor no dude en ayudar! Tengo el parcial mañana y cuanto menos dudas tenga mejor :D

Lo que debes hacer es calcular la fuerza de repulsión entre hemisferios. Para ello debes utilizar el Tensor de Esfuerzos de Maxwell.

También puedes hacerlo mediante la definición integral de campo eléctrico, pero debes tener cuidado con la forma vectorial del mismo.

Te recomiendo el libro de Electrodinamica de Griffiths.  Allí está resuelto un ejercicio similar para la fuerza, con la diferencia de la forma de la densidad de carga.

Éxitos !!!.