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Hola a todos, he estado dándole vueltas a este problema y no he sabido solucionarlo, tengo los resultados pero no se llegar a ellos. Lo propongo aquì por si me podríais decir como resolverlo o por donde van los tiros, gracias:

Entre dos superficies esféricas de radios R y R' se distribuye una carga con densidad cùbica ρ = a/x² siendo a constante y r la distancia al centro. Hallar: a) carga total b) campo eléctrico en todos los puntos del espacio. dV = 4*∏*r² dr

Resultados:
Q=4∏a[R'-R]
r<R  campo electrico=0
R<r<R' campo electrico=a*(r-R)/ε*r²
r>R' campo electrico a*(R'-R)/ε*r²

Gracias por todo.

Veamos.

Creo que tu densidad de carga se debe escribir como ρ=a/r². De esta forma, dado que es una desidad volumétrica de carga, la carga total se obtiene sumando por todo el volumen la densidad de carga, esto es:

Q=∫ρ(r)dV

Dado que estamos en coordenas esféricas dV=r²senθdrdθdφ, donde r va de R a R', θ en [0,π] y φ en [0,2π], de esta forma, la integral se reduce a

       R'
Q=4π ∫ (a/r²)r²dr=4πa(R'-R)
       R

Para r<R:

Usemos la Ley de Gauus, de tal forma que la superficie gaussiana que utilizaremos sea una esfera que encierre todos los puntos para los cuales r<R, de esta forma:

∫EdS=Q_encerrada/ε

Pero dado que la superficie no encierra carga, entonces ∫Eds=0, lo que lleva a concluir que E=0.

Para R<r<R':

Lo que vamos a hacer es hallar el campo entre R y r<R. Para ello, usemos la primera ecuación de Maxwell:

divE=ρ/ε                            (1)

Pero sabemos que el potencial eléctrico Φ y el campo se relacionan por medio de E=-gradΦ, de esta forma, la ecuación (1) toma la forma:

div(grad Φ)=-ρ/ε=-a/(εr²)

Pero dado que div(grad f)=∆f, con ∆=operador laplaciano, tenemos que:

∆Φ=-a/(εr²)                       (2)

De la simetría del problema, el laplaciano debe estar en coordenadas esféricas, pero este potencial eléctrico no depende de la parte angular (θ,φ), sólo de la parte radial (superficies equipotenciales), de esta forma, el operador laplaciano para la coordenada radial en esféricas es:

∆_rΦ=(1/r²)d/dr(r²dΦ/dr)

Con lo cual (2) toma la forma:

(1/r²)d/dr(r²dΦ/dr)=-a/(εr²)

Simplificando:

d/dr(r²dΦ/dr)=-a/ε

Integrando con respecto a r, con los límites antes descritos:
                  r
r²dΦ/dr=-a/ε∫dr
                  R
Entonces:

r²dΦ/dr=a/ε(R-r)

Dividiendo por r² e integrando nuevamente con respecro a r (si quieres puedes no poner los límites de integración, ya que generarán sólo constantes que luego se eliminarán) con los límites, tenemos:

Φ(r)=[-aR/r-aln(r)+aln(R)+1]/ε    (3)

Ahora, recordando que E=-gradΦ y que en coordenadas esféricas gradΦ=dΦ/dr, entonces con (3) tenemos que:

E=-d/dr[(-aR/r-aln(r)+aln(R)+1)/ε]= -aR/εr²+a/εr

Factorizando.

E=a(r-R)/εr².

Para r>R':

En esta caso, el campo eléctrico es el de una esfera, que conincide con el campo de una carga puntual con carga total Q que se halló en la parte (a), de esta forma, el campo es:

E=(1/4πε)Q/r²=[4πa(R'-R)]/(4πεr²)

Entonces:

E=a(R'-R)/εr²

Gracias por tu ayuda, aunque se podría resolver sin utilizar gradiantes y la formula de maxwell?

La verdad he tratado de usar la definición de campo eléctrico:

E= (4πε)^-1 ∫[ρ(r')/l r-r' l²]dV'

Pero por alguna razón no me sale la respuesta (me sobra un 2). Lo intentaré hacer así y si me sale lo pongo.

Si a eso me referia yo, pero a mi tambien me sobra un 2. De todas maneras puede que la respuesta que me han dado no sea correcta.
Gracias.

Hola,

A mí me sale esto.

R < r < R'

Al ser esferas:

            r
E(r) = K·∫(ρ·dV/r²) = →
          R

dV = 4·π·r²·dr

→ = 4·π·K·a·∫dr/r² =

= -4·π·K·a·[1/r] =                          (entre R y r)

= (a/ε)·(1/R - 1/r) =

= a·(r - R)/(ε·R·r)


En la superficie de la esfera el campo será  (r=R')

E(R´) = a·(R' - R)/(ε·R·R')

Lo que sale es muy lógico.