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Hola voy a colgar los ultimos ejercicios que tengo que hacer, la verdad que para mi son bastantes dificiles de resolver, ya que es un tema que viene muy mal explicado en el libro que tengo.

Una galaxia de masa M está formada por una distribución de estrellas, esférica, de radio R. Una nave espacial sin combustible se encuentra justo al borde de la galaxia inicialmente en reposo ¿ cuanto tiempo tardará la nave en cruzar la galaxia, suponiendo que su trayectoria es aproximadamente rectilinea ? ¿ cual es la velocidad máxima de la nave con respecto al centro de la galaxia?¿ En que instante de tiempo alcanza esa velocidad?

Hola,

La fuerza que ejerce la galaxia (o planeta) a una distancia r de su centro depende de la masa del planetoide que tiene debajo de los pies.



La densidad de la galaxia es:

ρ = M/V = 3M/4πR³

A una distancia 'r' del centro de la galaxia se formará una esfera de radio 'r' (azul), cuya masas será:

m = ρ·V = (3M/4πR³)·(4πr³/3) = M·(r/R)³

La aceleración producida por ese pequeño planeta es:

'a' que es (g) en 'r' = -G·m/r² = -(M·G/R³)·r    (esta es la aceleración de la gravedad en la superficie del planetilla, a una distancia 'r' del centro)

Como el cuerpo al caer hacia el centro va viendo que ese planetilla se reduce, cada vez pesará menos, hasta llegar al centro, donde dejará de pesar. El trabajo de la gravedad se convertirá en energía cinética.

W = ∆Ec   (la masa del cuerpo es m')

∫F·dr = ½·m'·V²

Vamos a calcular el trabajo del peso desde R hasta r. Ese trabajo es el incremento de energía cinética.
    r
m'·∫a·dr = ½·m'·V²
  R

  r
2·∫a·dr = V² = -2·(M·G/R³)∫r·dr = -(M·G/R³)·(r² - R²) = (M·G/R³)·(R² - r²) = V²
 R

V = √(M·G·(R² - r²)/R³

La velocidad máxima será cuando r=0 que estará en su centro y será:

V = √M·G/R

Ahora el tiempo:

V = -dr/dt           (menos porque al disminuir r, aumenta V)
        r
dt = -∫dr/V = -(√(R³/GM)·∫dr/√(R² - r²) =
       R
-(1/R)·√(R³/GM)∫dr/√(1 - (r/R)²) =

Para que sea un arcoseno debo tener la derivada de r/R (1/R) en el numerador:

-√(R³/GM)·∫(1/R)dr/√(1 - (r/R)²) = -√(R³/GM)·[arcsen (r/R)]   desde R a r

=  -√(R³/GM)·[arcsen (r/R)] - π/2] = √(R³/GM)·[π/2 - arcsen (r/R)]

Llegará al centro cuando r = 0

t = √(R³/GM)·[π/2 - arcsen 0] = (π/2)·√(R³/GM) = (π/2)·R·√(R/GM)

Ahora te lo haré de otra forma, basándonos en el MAS.

Revisa que son muchos cálculos y lo he hecho directamente en el ordenador.

Hemos calculado que a una distancia 'r' del centro de la galaxia la aceleración es:

'a' = -(M·G/R³)·r

En un MAS la aceleración es:

a = -(K/m')·r

La galaxia se comporta como un muelle:

'a' = -(M·G/R³)·r =  -(M·G·m'/R³·m')·r

Si tomamos K = M·G·m'/R³

El periodo se un MAS es:

T = 2π√m'/K = 2π·R√R/M·G = 2π·√R³/M·G

Como el tiempo que tarda en llegar al centro es T/4:

t = (π/2)·√R³/M·G


Para la velocidad aplicamos conservación energía de un MAS en 'x':

½·K·A² = ½·K·x² + ½·m'·V²

K·A² = K·x² + m'·V²     V² = K(A² - x²)/m'

Que sustituyendo K por M·G·m'/R³   y   A por R  queda:

V² = (M·G·m'/R³)(R² - r²)/m' = M·G·(R² - r²)/R³

V = √M·G·(R² - r²)/R³

en r = 0

V = √M·G/R

El tiempo que tardará en cruzar la galaxia es T/2:

T/2 =  = π·√R³/M·G

Por cierto, cuando llege al otro extremos de la galaxia habrá perdido toda la velocidad que ganó mientras caía hacia al centro.

Esto te puede servir para otro problema parecido:

Fuerza central y conservativa (sc.ehu.es)

tengo que reconocer que el problema era bastante complicado, me ha costado entenderlo pero al final lo he conseguido.

muchas gracias

Te recomiendo que lo imprimas y lo estudies despacio. A mí también me pasa que cuando veo un problema hecho por otro me vuelvo loco hasta que lo voy viendo tranquilo.

Sí, este problema era más difícil de los que parecía.

Hay otras maneras, utilizando la conservación de energía para calcular la velocidad pero hay que sacar la energía potencial para que sea nula en la superficie o en el centro del planeta (no en el infinito)

Hola,

He corregido un pequeño fallo:



es V = √M·G/R       (ya está corregido)