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El momento cinético total del sistema Tierra-Luna será la suma de ambos referido a un eje común que pasa por el centro de la Tierra (se supone a la Luna como partícula puntual y a la Tierra como sólido rígido de momento de inercia I_T). Se condidera el hecho de que la velocidad angular del planeta disminuye por efecto de las marea. La consecuencia de ello es que el momento cinético de la Tierra disminuye y debe aumentar el de la Luna para mantener cte el de ambos (Principio de conservación del L).

L(total) = L_T + L_L = I_T·ω_T + M_L·r²·ω_L = cte

Derivamos respecto de t y suponemos que la ω_L es cte. Expresaremos a la derivada de r respecto a t como r'.

I_T·ω_T' + M_L·ω_L·2·r·r' = 0

r' = - I_T·ω_T' / (2·M_L·r·ω_L)

Ahora bien, aplicando la segunda ley de Newton y la de  gravitación del mismo entre ambos astros (módulos), al estar girando la Luna alrededor del planeta se verifica que:

F_TL = M_L·a = M_L·V²/r = M_L·ω_L²·r

F_TL = G·M_L·M_T / r² = M_L·ω_L²·r ⇒ ω_L² = G·M_T/r³.  (Ley de Kepler) Luego:

ω_L = √(G·M_T/r³) = √(G·M_T)/(r·√r)

Sustituimos esta expresión en la de r' y queda:

r' = - I_T·ω_T'·r√r/(2·M_L·r·√(GM_T) = - I_T·ω_T'·√r/(2·M_L·√(G·M_T)

Se observa que la rapidez del acercamiento es proporcional a la rapidez de cambio de la velocidad angular de la Tierra. También que a medida que se aleje la Luna la variación de r será mayor. Mientras más lejos esté, más rápido se alejará (pues de depende de √r)

Nota: El dos que aparece multiplicando en la solución del problema a mí me aparece dividiendo. ¿Dónde está el error?.  

De f) sabemos que:

r' = - I_T·ω_T'·r√r/(2·M_L·r·√(GM_T)) = - I_T·ω_T'·√r/(2·M_L·√(G·M_T))

Despejamos ω_T':

ω_T' = -2·M_L·√(GM_T)·r'/(I_T·√r)

Integrando respecto a t desde cero a t, nos queda:

t
∫ω'dt = [-2·M_L·√(GM_T)/(I_T)]·∫(r'/√r)·dt
0

ω_T(t) - ω_T(0) =  [-4·M_L·√(GM_T)/(I_T)]·(√r(t) - √r(0))

= -4·M_L·√(GM_T)·(√r(t) - √r(0)) / (I_T)

Nota:

∫(r'/√r)·dt = ∫((dr/dt)/√r)·dt = ∫(dr/√r) = 2·√r

Nota: El cuatro que aparece es consecuencia del dos aquel que no coincidía (en el primer apartado, creo). Al que hizo los cálculos se le simplificó. A mí me sale los dos doses en el mismo sitio.

Ahora tenemos un problema y es que ∆r/r = 0,02 (tanto por uno). Pero en la fórmula del anterior mensaje sale ( √r(t) - √r(0) ) y no (r(t) - r(0)). Para poder calcular esto tenemos que recurrir a una aproximación (desarrollo en seríe):

Esto se puede explicar por el T. del valor medio:

f(b) = f(a) + (b-a)·f'(δ) estando δ comprendida entre a y b.

Aplicándolo a la función √x, tenemos

√r(t) = √r(0) + ∆r/2√δ Vamos a tomar δ como r actual (distancia T-L ahora)

Tomando r actual como 400000 km = 4·10⁸ m (es algo menos)

√r(t) - √r(0) = ∆r/2√r = ∆r·√r/2·r = (∆r/r)·√r/2 = 0,02·20000/2 = 200 m

El cambio en la ω (ω(t)-ω(0)) es de:

∆ω = -4·M_L·√(GM_T)·(√r(t) - √r(0)) / (I_T) =


-4·M_L·√(GM_T)·(200) / (I_T)

Ahora habría que buscar y sustituir los datos (ML, MT, etc) y nos daría al cambio de la velocidad angular ∆ω. Sabemos que el periodo es:

T (duración de un día) = 2·π/ω(t) → en segundos. Donde

ω(t) = ω(0) - ∆ω

Falta hacer números. Te lo dejo para tí.

(∆ω/2·π)·86400 → vueltas por día.

muchas Gracias, han pasado un par de meses desde que publique estas dudas, y afortunadamente ahora estoy comprobando mis resultados, lo que significa que estoy mejorando un poquito, muchas Gracias por la buena voluntad...

Cuando me planteaste este problema me quedé alucinao . Te lo hice más bien por una cuestión personal. Me gustó. No era de un nivel apropiado para tus estudios. Todo a su debido tiempo .