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Mensaje 25 May 08, 23:11  5986 # 11


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f) Velocidad de acercamiento de la Luna en las condiciones expuestas en el problema.


El momento cinético total del sistema Tierra-Luna será la suma de ambos referido a un eje común que pasa por el centro de la Tierra (se supone a la Luna como partícula puntual y a la Tierra como sólido rígido de momento de inercia IT). Se condidera el hecho de que la velocidad angular del planeta disminuye por efecto de las marea. La consecuencia de ello es que el momento cinético de la Tierra disminuye y debe aumentar el de la Luna para mantener cte el de ambos (Principio de conservación del L).

L(total) = LT + LL = IT·ωT + ML·r²·ωL = cte

Derivamos respecto de t y suponemos que la ωL es cte. Expresaremos a la derivada de r respecto a t como r'.

IT·ωT' + ML·ωL·2·r·r' = 0

r' = - IT·ωT' / (2·ML·r·ωL)

Ahora bien, aplicando la segunda ley de Newton y la de  gravitación del mismo entre ambos astros (módulos), al estar girando la Luna alrededor del planeta se verifica que:

FTL = ML·a = ML·V²/r = ML·ωL²·r

FTL = G·ML·MT / r² = ML·ωL²·r ⇒ ωL² = G·MT/r³.  (Ley de Kepler) Luego:

ωL = √(G·MT/r³) = √(G·MT)/(r·√r)

Sustituimos esta expresión en la de r' y queda:

r' = - IT·ωT'·r√r/(2·ML·r·√(GMT) = - IT·ωT'·√r/(2·ML·√(G·MT)

Se observa que la rapidez del acercamiento es proporcional a la rapidez de cambio de la velocidad angular de la Tierra. También que a medida que se aleje la Luna la variación de r será mayor. Mientras más lejos esté, más rápido se alejará (pues de depende de √r)

Nota: El dos que aparece multiplicando en la solución del problema a mí me aparece dividiendo. ¿Dónde está el error?.  :roll:


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Mensaje 26 May 08, 13:47  6002 # 12


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h) Asumiendo que la Luna se mueve en una órbita circular, utilice f) para demostrar que:

ω(t) = ω(0) - (√r(t) - √r(0))·ML·√(GMT) / IT


De f) sabemos que:

r' = - IT·ωT'·r√r/(2·ML·r·√(GMT)) = - IT·ωT'·√r/(2·ML·√(G·MT))

Despejamos ωT':

ωT' = -2·ML·√(GMT)·r'/(IT·√r)

Integrando respecto a t desde cero a t, nos queda:

t
ω'dt = [-2·ML·√(GMT)/(IT)]·(r'/√r)·dt
0

ωT(t) - ωT(0) =  [-4·ML·√(GMT)/(IT)]·(√r(t) - √r(0))

= -4·ML·√(GMT)·(√r(t) - √r(0)) / (IT)

Nota:

(r'/√r)·dt = ((dr/dt)/√r)·dt = (dr/√r) = 2·√r

Nota: El cuatro que aparece es consecuencia del dos aquel que no coincidía (en el primer apartado, creo). Al que hizo los cálculos se le simplificó. A mí me sale los dos doses en el mismo sitio.


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 Última edición por Galilei el 27 May 08, 00:09, editado 1 vez en total 
          
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Mensaje 27 May 08, 00:04  6015 # 13


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Calcule, usando las ctes, la duración del día si la distancia Tierra-Luna, se incrementa en un 2%


Ahora tenemos un problema y es que ∆r/r = 0,02 (tanto por uno). Pero en la fórmula del anterior mensaje sale ( √r(t) - √r(0) ) y no (r(t) - r(0)). Para poder calcular esto tenemos que recurrir a una aproximación (desarrollo en seríe):

Esto se puede explicar por el T. del valor medio:

f(b) = f(a) + (b-a)·f'(δ) estando δ comprendida entre a y b.

Aplicándolo a la función √x, tenemos

√r(t) = √r(0) + ∆r/2√δ Vamos a tomar δ como r actual (distancia T-L ahora)

Tomando r actual como 400000 km = 4·108 m (es algo menos)

√r(t) - √r(0) = ∆r/2√r = ∆r·√r/2·r = (∆r/r)·√r/2 = 0,02·20000/2 = 200 m

El cambio en la ω (ω(t)-ω(0)) es de:

∆ω = -4·ML·√(GMT)·(√r(t) - √r(0)) / (IT) =


-4·ML·√(GMT)·(200) / (IT)

Ahora habría que buscar y sustituir los datos (ML, MT, etc) y nos daría al cambio de la velocidad angular ∆ω. Sabemos que el periodo es:

T (duración de un día) = 2·π/ω(t) → en segundos. Donde

ω(t) = ω(0) - ∆ω

Falta hacer números. Te lo dejo para tí.

(∆ω/2·π)·86400 → vueltas por día.


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Mensaje 29 Sep 08, 01:21  7115 # 14


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muchas Gracias, han pasado un par de meses desde que publique estas dudas, y afortunadamente ahora estoy comprobando mis resultados, lo que significa que estoy mejorando un poquito, muchas Gracias por la buena voluntad...


paz y bien
          
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Mensaje 29 Sep 08, 02:09  7116 # 15


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Cuando me planteaste este problema me quedé alucinao :shock: . Te lo hice más bien por una cuestión personal. Me gustó. No era de un nivel apropiado para tus estudios. Todo a su debido tiempo .   :)


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