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Mensaje 20 Ago 12, 15:45  27832 # 1



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Una bola de masa m desliza sobre la superficie interior de un paraboloide cuyo eje está en la dirección de la gravedad. Inicialmente la masa se encuentra en reposo y a una altura h del fondo del paraboloide. Determinar:
a) la aceleración de la bola en cualquier instante de tiempo
b) la fuerza con la que la bola actúa sobre la superficie en el punto más bajo del paraboloide.

Dato: la ecuación del paraboloide es z=k(x²+y²)

Este es un problema de examen de la UNED, sé que debo utilizar cilíndricas, pero poco más, por energías??? No sé.
          
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Mensaje 24 Ago 12, 00:40  27848 # 2


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Cita:
"a) la aceleración de la bola en cualquier instante de tiempo"

El movimiento de la masa se puede considerar sobre un plano, por ejemplo sobre el plano x-z ; describe la trayectoria z=kx2
Las fuerzas sobre la partícula son la normal y la aceleración de la gravedad.
La aceleración de la partícula se descompone en aceleración tangencial a lo largo de la trayectoria y aceleración centrípeta  a lo largo del radio de curvatura.

a = aT T + aN N      (T y N vectores unitarios tangencial y normal, respectivamente)
La magnitud de la aceleración: a=( aT2 + aN2 )1/2  (ec. 1)
Tan α = dz/dx = 2kx

Aceleración tangencial:
aT = g Cos β
aT2 = g2 Cos2β = g2 Sen2α = g2 Sen2α Cos2α / Cos2α = g2 Tan2α / Sec2α= g2 Tan2α /(1+ Tan2α)
Reemplazando:  Tan α  = 2kx, teniendo en cuenta que z=kx2

aT2=  4k g2 z / (1+ 4kz)  (ec. 2)

Aceleración centrípeta: aN = v2 / ρ

Por conservación de energía:  mgh = mgz + m v2 / 2   →  v2 = 2g(h-z)

Radio de curvatura: ρ = [1 + (dz/dx)2 ]3/2 /  (d2z / dx2 ) →  ρ = (1 + 4kz)3/2 / (2k)

aN  =  v2 / ρ  =  4kg (h-z) / (1 + 4kz)3/2 →  aN2 =  [4kg (h-z)]2 / (1 + 4kz)3  (ec. 3)

Reemplazando ec.2 y ec. 3 en ec.1:
           _______________________________
a= 2g √ k [4k(h-z)2 + z(1+4kz)2] / (1+4kz)3

Aceleración en cualquier instante.

Cita:
"b) la fuerza con la que la bola actúa sobre la superficie en el punto más bajo del paraboloide."

En el punto más bajo de la trayectoria: a = 4ghk (Para z=0).
Corresponde a una fuerza centrípeta a lo largo del eje del paraboloide en sentido positivo:  F = 4mghk
La fuerza de la bola sobre la superficie es opuesta a la anterior fuerza, sentido negativo.

Saludos.
          
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Mensaje 27 Ago 12, 14:09  27863 # 3


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Muchas gracias por responder.
Todavía no lo he pillado bien, pero lo repasaré más detenidamente. Gracias de nuevo

Un saludo
          
       


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