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Mensaje 26 Nov 11, 22:51  25511 # 1



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Registro: 30 Ene 08, 21:15
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Hola, necesito ayuda en este problema que es bastate complicado:
Una cápsula esférica de radio 10 cm y 5 cm de profundida. Se deja caer un pequeño cuerpo desde uno de los bordes de manera que desliza por la superficie interior de la cápsula.Si el coeficiente de rozamiento μ es 0,1. ¿Que altura alcanzará el cuerpo al otro lado de la cápsula?
NOTA: despreciar la contibución de la velocidad del cuerpo en la fuerza normal ejercida sobre él.



Para el aprtado de la velocidad en la fuerza normal, lo calculo aplicando la segunda ley de Newton, de manera que:
∑F= m*a.
N-Px=m*ac; N= mgcosΘ+m*V²/R; Como dice despreciar la velocidad en la normal, N=mgcosΘ.
Despues, cuando pide calcular ∆Ep, es cuando tengo los problemas.
Muchas gracias de antemano
          
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Mensaje 27 Nov 11, 15:28  25512 # 2


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Nivel Estudios: Licenciad@
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Hola Juan Carlos,

Este es el esquema de fuerzas:

Imagen

Para los ángulos:

Imagen

Este problema es para hacerlo por energía. La pérdida de energía potencial es justamente el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.

Cosas que me pueden hacer falta para después (ver dibujos):

cos θ = (R - h)/R     =>     cos θo = (R - ho)/R

sen θ = √1 - cos² θ = √1 - (R - h)²/R² = (1/R)·√(2·R·h - h²)   =>

sen θo = √1 - (R - ho)²/R² = (1/R)·√(2·R·ho - ho²)

θ = arcsen (1/R)·√(2·R·h - h²) = arcos (R - h)/R

Ahora vamos a calcular la fuerza de rozamiento en función de θ:

Fr = μ·Py = μ·P·cos θ    ;     dr = R·dθ  (arco = ángulo·radio)

Vamos a calcular el trabajo de rozamiento en función de θ:

Wr = ∫Fr·dr = ∫μ·P·R·cos θ·dθ = μ·P·R·sen θ

Voy a calcular lo que pierde por rozamiento desde el principio (ho) hasta el punto más bajo (h = 0):

Para ho tenemos que θo = arcsen √ho·(2·R - ho)

Wr (θo → 0) = μ·P·R·[sen θ]desde(θo → 0) =

= μ·P·R·sen θo = μ·P·√ho·(2·R - ho)     (he omitido el signo)

Al subir realizará un trabajo (el rozamiento) hasta alcanzar una altura h:

Wr' = μ·P·√h·(2·R - h)  (he omitido el signo)

Aplicando el principio de conservación (sumamos los dos trabajos):

Lo que piede de energía potencial es por trabajo de fricción:

m·g·h - m·g·ho = -Wr - Wr' = -μ·P·√ho·(2·R - ho) - μ·P·√h·(2·R - h)

h - ho = -μ·√ho·(2·R - ho) - μ·√h·(2·R - h)

El problema está terminado, ahora empiezan los números:

h - 0.05 = -0.1·√0.05·(2·0,1 - 0.05) - 0.1·√h·(0,2 - h)

h = 0.05 - 0.008660 - 0.1·√h·(0,2 - h)

h = 0.04134 - 0.1·√h·(0,2 - h)

0.1·√h·(0.2 - h) = 0.04134 - h

0.01·h·(0.2 - h) = (0.04134 - h)² = 0.0017 + h² - 0.08268·h

0.002·h - 0.01·h² - h² - 0.0017 + 0.08268·h = 0   (cambio signo)

1.001·h² - 0.08468·h + 0.0017 = 0

h = 0.0327 m    (3,27 cm)

La otra solución queda descartada (0.052 m)

Solución

Repasa cálculos. (¿Tienes la solución?)


ImagenImagen
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Mensaje 27 Nov 11, 19:54  25516 # 3


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Muchísimas gracias, la solución al problema en mi relación de problemas es 3,38 cm que es mas o menos lo que a ti te da pero que vamos que yo no hubiese caido en hacer la mitad de los cálculos que has hecho tú, puff esto es otra cosa y se nota.
          
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Mensaje 27 Nov 11, 23:33  25523 # 4


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Jejeje, ¿te acuerdas de lo que te decía en las clases sobre derivadas e integrales?  :dance:


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Mensaje 29 Nov 11, 17:45  25546 # 5


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Si y ahora lo entiendo y jejeje igual tendría que haber adelantado trabajo para este año y mañana 30 es el examen.
          
       


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