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Hola, me han pedido que demustre el siguiente teorema:

El teorema de Steiner  establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

I=I_CM+MR²_{al CM}

He tratado de demostrar este teorema de la siguiente forma, no sé si está bien, podrian ayudarme y decirme en que me he equivocado?

La energia cinetica del sisema con respecto a un laboratorio es:

E=(1/2)∑(m_jV_j²)

Como la velocidad de la partícula es: V_j=V_jCM+V_CM, donde V_jCM es la velocidad de la particula en el marco de referencia del centro de masa.

Asi la energia queda:

E= (1/2)∑(m_j (V_jCM+V_CM)²)

Desarrollando el cuadrado:

E=(1/2)∑m_j(V_jCM²+2V_jCM.V_CM+V_CM²)

 =(1/2)∑m_jV_jCM²+∑m_j2V_jCM.V_CM²+∑m_jV_CM²

Como ∑m_j2V_jCM.V_CM²=0 por el hecho de que la cantidad de movimiento en el centro de masa es cero, y ademas V=rω, entonces:

E=(1/2)∑m_j(r_{j al CM}ω)²+∑m_j(r_CMω)²

 =(1/2)MR²_{al CM}ω²+(1/2)MR²_CMω²

Como E=(1/2)Iω² ⇒

(1/2)Iω²=(1/2)MR²_{al CM}ω²+(1/2)MR²_CMω²
⇒
I=MR²_{al CM}+MR_CM²= I_CM+MR²_{al CM}

Agradecería q me dijeran en q me he equivocado..gracias¡¡  

Esa demostración que haces es muy laboriosa. Es más fácil descomponer el vector de posición desde un eje como suma de dos: uno al centro de masas y otro desde aquí al punto. Lo puedes ver aquí:

Momento de inercia. Teorema de Steiner (Wiki)

pero Galilei, mi demostracion es correcta?, he aplicado bien los principios fisicos que expongo?..gracias..

Sí, lo único es un error de taquigrafía, creo:



El cuadrado de V_CM² se ha colao pero no influye en nada pues ese término es cero.