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Mensaje 13 Jul 07, 23:39  2441 # 1



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Univérsitas

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Univérsitas 

Registro: 25 Jun 07, 00:23
Mensajes: 7
Mi nombre es: Valparaíso, Chile
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Necesito saber como desarrollarlo:

Una partícula de masa m se suelta desde una altura h y los choques que ocurren contra el suelo son con coeficiente de restitución  e. Determine el tiempo total que demoran en ocurrir todos los choques.
Después  determine la distancia recorrida por la partícula.

saludos
          
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Mensaje 14 Jul 07, 01:17  2445 # 2


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Registro: 28 Oct 05, 00:18
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Mi nombre es: Andrés Jesús
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Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino

______________________
El tiempo que tarda un cuerpo en caer depende de la velocidad (proporcionalmente). Si una pelota sale del suelo (después de un bote) con una velocidad V, el tiempo que tarda en pararse es t = V/g y otro tanto en la caída, luego después de botar contra el suelo, si sale con una velocidad V, el tiempo que tarda en dar el siguiente bote será de t = 2·V/g ya que tarda lo mismo en subir que en bajar. A su vez, la velocidad con que llega un cuerpo al suelo que cae desde una altura h será de:

h = ½·g·t² ⇒ t = √(2·h/g)

Cuando cae desde h (al principio), hasta que da el primer bote, transcurre un tiempo:

to = √(2·h/g) y llega con una velocidad de V = √(2·g·h)

Después de esto, bota, saliendo con una velocidad de e·V. Esto es así porque el coeficiente de restitución es el tanto por uno de la energía que le queda después del choque.

Como el tiempo entre botes es t = 2·V/g (el dos se debe a que sube y baja entre dos botes), podemos crear la siguiente sucesión:

√(2·h/g) + 2·e·√(2·h/g) + 2·e²·√(2·h/g) + 2·e³·√(2·h/g) + ... + 2·en·√(2·h/g)

n es el número de botes contra el suelo del cuerpo.

Reagrupando y sacando factor común:

t = ∑ tn = √(2·h/g) + 2·√(2·h/g)·(e+e²+e³+ ... +en)

(e+e²+e³+ ... +en) es la suma de una progresión geométrica de primer término e y de razón e.

(e+e²+e³+ ... +en) = e·(en-1)/(e-1)

Si n → ∞ ⇒ en → 0 ya que e<1 y en este caso la suma de dicha progresión se reduce a e·(-1)/(e-1) = e/(1-e). Luego, sustituyendo, queda:

t = √(2·h/g) + 2·√(2·h/g)·e/(1-e) = √(2·h/g)·(1+2·e/(1-e)) = √(2·h/g)·(1+e)/(1-e)

Se puede comprobar que si e=0 (choque ineslático total; no bota) el tiempo coincide con el de caída desde una altura h, t=√(2·h/g)

Para calcular la distancia recorrida total deberás formar una sucesión parecida a esta pero que describa la h desde la que cae en cada bote y no el tiempo. Ten en cuenta que éste último depende de h.

Espero que lo hayas entendido.

Nota:

Para aclarar lo de la suma de n términos de una progresión geométrica, puedes ver el siguiente enlace:

Suma de términos de una progresión geométrica

Puedes imprimir este mensaje con el botón que hay al lado de Responder para estudiarlo con más detenimiento.


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 Última edición por Galilei el 14 Jul 07, 12:51, editado 1 vez en total 
          
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Mensaje 14 Jul 07, 12:47  2450 # 3


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La altura de cada bote es función de V², ya que:

V = √(2·g·h) ⇒ h = V²/(2·g)

Como después de cada bote Vf = e·Vi ⇒ V²f = e²·V²i. Es decir, después del primer bote la altura alcanzada será de e²·h. Creamos la sucesión:

h (total) = ∑ hn = h + 2·e²·h + 2·e4·h + ... + 2·e2n·h

El dos se debe a que la partícula sube y baja (después del primer bote). Sacamos factor común y reordenamos:

h (total) = h + 2·h·e²·(1+e²+e4+ ... +e2n-2)

Lo que hay entre paréntesis es una progresión geométrica de primer término 1 y razón e², cuya suma es:

Suma = a1·(rn-1)/(r-1)

Para n→∞ queda S = 1/(1-e²)

Sustituyendo arriba queda:

h (total) = h + 2·h·e²/(1-e²) = h·(1 + 2·e²/(1-e²)) = h·(1+e²)/(1-e²)

Igualmente se comprueba que si e=0 la distancia recorrida es h y si e=1 (choque elástico) entonces tiende a infinito ya que nunca deja de rebotar contra el suelo (Vf = Vi). Tiende a anularse el denominador de la expresión.


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