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Mensaje 24 May 07, 22:41  1884 # 1



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Una masa de 30 gramos se encuentra en la base de un plano inclinado 30 grados y altura 4 metros comprimiendo un muelle de constante 400 N/m y longitud de 12 cm .Si el coeficiente de rozamiento entre masa y el plano es de 0,2.

Cuando se suelta la masa asciende por el plano y al llegar al pto más alto cae describiendo una parábola en el aire.

Determina.

a) Velocidad cuando el muelle recupera su longitud natural

b) velocidad de la masa en el pto más alto del plano después de haber ascendido 4 metros

c) Velocidad con la que llega al suelo.
          
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Mensaje 24 May 07, 23:43  1886 # 2


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Estos problemas se pueden resolver de dos maneras:

Una es aplicando la fórmula, que no entiende casi nadie ∆Ec+∆Ep=W

y la otra es plantearlo pensando qué o en qué gasta (transforma) la energía inicial del sistema.

En nuestro caso tenemos un muelle comprimido y sabemos que la energía que hace falta para comprimir un muelle es Ex=1/2 K·x² siendo k la cte elástica y x lo comprimido o estirado que esté.

La energía con el muelle comprimido y la masa en reposo es de:



Ex=1/2·K·x² = 0,5·400·0,12² = 2,88 J

Cuando el muelle se va a la posición de equilibrio ya no tiene energía elástica pero la masa se estará moviendo con una energía cinética y habrá aumentado su altura (energía potencial) y ha generado calor al rozar (trabajo de la fuerza de rozamiento):

0,5·k·x² = μ·m·g·cos φ·x + m·g·x·sen φ + 0,5·m·V²


El resorte, al estirarse, empuja a la masa hacia arriba, paralala al plano, rozando con él y elevando un poco al cuerpo.

El muelle transfiere una parte de la energía, que "pierde", en forma de calor (rozamiento), eleva un poco la masa (energía potencial) y el resto  en forma de movimiento (cinética).

Ahora tenemos que calcular la energía que tiene arriba del plano pero antes debemos saber qué longitud tiene éste. Nos dice que tiene 30º de inclinación y que la altura es de 4 m , luego por trigo sabemos que la longitud del plano es:

L·sen φ = h ⇒ L = 4/sen 30 = 8 m

Este dato es fundamental ya que al llegar arriba el cuerpo habrá perdido parte de la energía que tenía abajo por fricción con el plano (rozamiento) y otra parte la habrá invertido en elevarse en contra de la Tierra (energía potencial). Luego arriba tendrá:

1/2·K·x² = W(rozamiento) + Ec (arriba) + Ep (arriba)

1/2·K·x² = μ·M·g·cos φ·L + 0,5 M·Va² + M·g·4

Aquí todo es conocido excepto la Va (despejar). La energía perdida desde el lanzamiento, en forma de calor es el término:

W = μ·M·g·cos φ·L

La energía cinética con la que llegará al suelo es la elástica de muelle menos la perdida por rozamiento ya que la altura de suelo es cero.

1/2·K·x² - μ·M·g·cos φ·L = 0,5·M·Vs²

Despejar Vs

-----------------------------------
Nota: He tomado como altura del plano 4 m pero no está claro si eso es la longitug del plano. Está mal expresado. Cabe confusión. Si la longitud del plano es de 4 m entonces al altura que alcanza es de 2 m. Recuerda que L·sen φ=h


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 Última edición por Galilei el 08 Jun 07, 03:24, editado 4 veces en total 
          
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Mensaje 25 May 07, 00:13  1888 # 3


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Yo lo he tomado como que el muelle está en horizontal y sin fricción hasta que no empieza a ascender.

Es correcto lo que dice Darío si el muelle está tumbado paralelo al plano. Si queremos tener en cuenta esto (rozamiento) y energía potencial mientras se estira, sería:

0,5·k·x² = μ·m·g·cos φ·x + m·g·x·sen φ + 0,5·m·V²

A esa velocidad saldría la masa m después de dejar el resorte.

Es decir la energía del resorte se invierte en trabajo de rozamiento, de recorrido x, elevar una altura x·sen φ la masa y el resto de lo lleva en forma de energía cinética.

Los planteamientos para los otros dos apartados no cambian ya que tomamos como inicial el muelle comprimido y como final la parte superior del plano o el suelo.


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Mensaje 06 Jun 07, 22:11  2253 # 4


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Por que en el primero apartado s epone una vez por cos y la otra por seno la del coseno entiendo que es por el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento y la otra.
          
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Mensaje 07 Jun 07, 13:57  2269 # 5


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galilei escribió:
Cuando el muelle se va a la posición de equilibrio ya no tiene energía pero la masa se estará moviendo con una energía cinética igual a la potencial que tenía el muelle cuando estaba comprimido:


0,5·k·x² = μ·m·g·cos φ·x + m·g·x·sen φ + 0,5·m·V²
          
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Mensaje 08 Jun 07, 03:37  2286 # 6


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Estamos hablando del apartado a); galilei escribió:
Cuando el muelle se va a la posición de equilibrio ya no tiene energía elástica pero la masa se estará moviendo con una energía cinética y habrá aumentado su altura (energía potencial) y ha generado calor al rozar (trabajo de la fuerza de rozamiento):


Esto es lo que debería haber dicho. (ya está editado y corregido)

φ es el ángulo del plano. El signo menos del trabajo de rozamiento y de Px no aparecen pero se menciona y se supone.


El sistema, en un principio, tiene una energía potencial elástica (dada por el que comprimió el resorte) y ésta vale:

0,5·k·x²

De esta energía parte se transforma en calor (sin ocuparnos de signo):

Wroz = μ·N = μ·Py = μ·m·g·cos φ·x → se gasta en rozar (calor)

donde Py = m·g·cos φ

Es un trabajo negativo. Pero está pasado al otro lado de la igualdad cambiado de signo (está en gastos o inversión)

otra en subir al cuerpo, en contra del peso (la que no queda anulada por el plano). Es la llamada energía potencial (sin ocuparnos del signo):

Wpx = Px·x = m·g·x·sen φ = ∆Ep = m·g·h

donde Px = m·g·sen φ

También es negativa puesto que Px tira hacia abajo mientras el muelle empuja hacia arriba. Está positiva en la expresión por la misma razón anterior

y, por último, la energía cinética.

0,5·m·V²

Esta es la que queda de la elástica inicial después de haber rozado y subir al cuerpo en contra de su peso.

---------------------------------------

Así es como viene resuelto el problema en los libros de textos (teniendo en cuenta los signos de los trabajos):

W' (no conservativas) = ∆Ec + ∆Ep + ∆Ee

- μ·m·g·cos φ·x = (½·m·V² - 0) + (mgh - 0) + (0 - ½·K·x²)

reordenando términos y quitando los ceros:

½·K·x² = ½·m·V² + mgh + μ·m·g·cos φ·x

Que tiene la interpretación que te he comentado antes.

Aquí hacemos, lo mismo que en calorimetría, un balance de energía, lo que aporta (energía) una parte del sistema se lo tiene que llevar otra parte del mismo sistema o el medio que lo rodea.


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