Representación gráfica de funciones explícitas. Galilei

valor absoluto	polinomio_1	polinomio_2
racional_1	racional_2	exponencial
logaritmo	trigonométrica_1	trigonométrica_2

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES EXPLÍCITAS

(x , F(x)) {x ——►F(x) є R}

Dominio de F(x)

Valores de x (Reales) que tienen imagen, F(x), Real.
Conjunto de originales (x) con imagen (y).

No pertenecen al dominio de una función aquellos valores que hacen una raíz (par) negativa o un denominador nulo (entre otras razones).

Puntos de corte con X

Se hace y = F(x) = 0
Originales con imagen cero.

Si a es un número real tal que F(a)=0 entonces la función corta al eje X en x = a. Puede haber varios puntos de corte. (También llamados ceros o raíces) (a,0).

Punto de corte con Y

Se hace y₀ = F(0)
Imagen del cero.

Si b=F(0) entonces la función corta al eje Y en y=b. Punto (0 , b).

Simetría respecto de OY

Si F(-x) = F(x) para todo x
La imagen (y) no cambia al cambiar el signo del original (x).

Llamadas funciones pares (y=x² ; cos x).

Simetría respecto de O

Si F(-x) = -F(x) para todo x
La imagen (y) cambia de signo al cambiar el signo del original (x).

Llamadas funciones impares (y=x³ ; sen x). Son simétricas respecto del origen de coordenadas.

Asíntota horizontal

y = k siendo k = Lim F(x)
cuando x → ±∞
La ímagen tiende a un valor definido si el original crece o decrece indefinidamente.

Explica el comportamiento de la función cuando x es muy grande (→ ∞) o muy pequeña (→ - ∞).

Asíntota vertical

x = k siendo Lim F(x) = ±∞
cuando x→ k
La ímagen tiende a crecer o decrecer indefinidamente cuando el original se acerca a un valor determinado.

Suelen ser valores que anule al denominador de la función.

Asíntota oblicua:
y = m·x + n

m = Lim (F(x)/x)
cuando x→ ±∞
"m" es la pendiente de la recta. La ímagen tiende a confundirse con una recta cuando el original crece o decrece indefinidamente.

n = Lim (F(x) - m·x)
cuando x→ ±∞
"n" es el punto de corte de la recta con el eje Y. Su ordenada en el origen.

Derivada

Pendiente

		F(x) - F(x_o)
F'(x_o) =	Lim	——————
	x → x_o	x - x_o

La función derivada permite saber la pendiente de la recta tangente en un punto de F(x).
Lim ( ∆F(x)/∆x ) con ∆x → 0

Creciente en x = a

Decreciente en x = a

Si F ' (a) ≥ 0 (Estrictamente si F ' (a) > 0)
Si al aumentar el valor del original sus imágenes también aumentan (sube).

Si F ' (a) ≤ 0 (Estrictamente si F ' (a) < 0)
Si al aumentar el valor del original sus imágenes disminuyen (baja).

Máximo en x = a

Mínimo en x = a

Si F ' (a) = 0 y antes de x = a es creciente (F ' (a^-) ≥ 0) y después es decreciente (F ' (a⁺) ≤ 0) ► Máximo en a
La funcion sube (crece), se pone horizontal (y' = 0), luego baja (decrece).

Si F ' (a) = 0 y antes de x = a es decreciente (F ' (a^-) ≤ 0) y después es creciente (F ' (a⁺) ≥ 0) ►Mínimo en a
La funcion baja (decrece), se pone horizontal (y' = 0), luego sube (crece).

Cóncava en x = a

Convexa en x = a

Si F ' (x) es creciente en x = a. Esto es: F ''(a) ≥ 0
La derivada de F(x) sube (crece). A mayores originales, más pendiente.

Si F ' (x) es decreciente en x = a. Esto es: F ''(a) ≤ 0
La derivada de F(x) baja (decrece). A mayores originales, menos pendiente.

Punto de inflexión x = a

Si F ' (x) tiene Máx o Mín en x = a.
Esto es: F ''(a) = 0 y signo de F ''(a^-) ≠ signo F ''(a⁺)
La derivada de F(x) tiene un punto singular. Máximos y mínimos de pendiente.

Recopilación

Varios ejemplos prácticos de representación de funciones.

Estudio de: x³ - 9·x

Caso práctico aplicado a un polinomio.