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GRÁFICA DE FUNCIONES

ASÍNTOTA VERTICAL

Hay funciones que tienen un comportamiento fuera de lo común cuando la variable x tiende a confundirse con un cierto valor. Puede hacerlo por los mayores o por los menores que él. Es decir para aproximarnos al 2 podemos hacerlo de dos formas:
Por la izquierda   1,9 ;  1,99 ; 1,999 ... Se escribe x
2- .    x 2  con x ≤ 2
Por la derecha     2,1 ; 2,01 ;  2,001 ... Se escribe x
2+.   x 2  con x ≥ 2.
Si

 Lim F(x) = ±

  x xo±

se dice, entonces que hay una asintota vertical en x = xo. En la figura se ven dos asintotas verticales: una en x = 1 y otra en x = -1.

En x = 1      x 1+    F(x) + ∞      y para     x 1-  ►  F(x) - ∞
En x = -1    x -1+    F(x) - ∞      y para     x -1-  ►  F(x) + ∞

La tangente tiene infinitas asítotas verticales, una por cada valor que anula al coseno (tan x = sen x/cos x). Ver

Estudiemos la función:

 

x2 - 4·x + 3

 

 (x - 1)·(x - 3)

 

(x - 1)·(x - 3)

 
F(x) =   ——————  =

  ——————

 =   ——————   *NOTA
 

(x2 - 1)

 

 (x2 - 1)

 

(x - 1)·(x + 1)

 

   

 (x - 1)·(x - 3)

 

(x - 3)

      SI es asíntota
Lim F(x) =   Lim

 ——————

 = Lim   ————  = ± ∞  

   Ver

x→ -1± x→ -1±

 (x2 - 1)

x→ -1±

(x + 1)

     

   

 (x - 1)·(x - 3)

 

(x - 3)

      NO lo es
Lim F(x) =   Lim

 ——————

 = Lim   ————  = - 1  

   Ver

x→ 1± x→ 1±

 (x2 - 1)

x→ 1±

(x + 1)

     

Como puede deducirse, esta función sólo tiene una asíntota vertical en x = -1.
En x = 1 tiene un punto de discontinuidad evitable (ambos límites laterales existen y son iguales). Además corta al eje X en x = 3 y tiene asíntota horizontal en y = 0.

*NOTA: El divisor común, (x - 1), sólo se puede simplificar si x 1±. Nunca si x = 1. La función no existe para ese valor de la x, no pertenece a su dominio. No es verdad que 0/0=1 (no es número Real). (volver al párrafo de *Nota)

En esta otra vemos dos asíntotas verticales: una en x = 1 (F(x) - ∞ ) y otra en x = -1 (F(x) + ∞  ).
Una horizontal en y = 0. El numerador se anula para x = 0 (no el denominador) por tanto tiene punto de corte con X en ese punto. El dominio es todo R - {-1 , 1}.

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