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Hay funciones que tienen un
comportamiento fuera de lo común cuando la variable x tiende a confundirse con
un cierto valor. Puede hacerlo por los mayores o por los menores que él. Es
decir para aproximarnos al 2 podemos hacerlo de dos formas:
Por la izquierda 1,9 ; 1,99 ; 1,999 ... Se escribe x
→ 2- .
► x
→ 2 con x ≤ 2
Por la derecha
2,1 ; 2,01 ; 2,001 ... Se escribe x
→ 2+.► x
→ 2 con x
≥ 2.
Si
se dice, entonces que hay una asintota vertical
en x = xo. En la figura se ven dos asintotas
verticales: una en x = 1 y otra en x = -1.
 En x = 1
x
→1+
► F(x)
→ + ∞
y para x
→1-
► F(x)
→ - ∞
En x = -1
x
→ -1+
► F(x)
→ - ∞
y para x
→
-1-
► F(x)
→ + ∞
La tangente tiene infinitas asítotas verticales, una
por cada valor que anula al coseno (tan x = sen x/cos x).
Estudiemos la función:
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x2 - 4·x +
3 |
|
(x - 1)·(x - 3) |
|
(x - 1)·(x - 3) |
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| F(x)
= |
—————— |
= |
——————— |
=
|
—————— |
*NOTA |
| |
(x2
- 1) |
|
(x2
- 1) |
|
(x - 1)·(x + 1) |
|
| |
|
(x - 1)·(x - 3) |
|
(x - 3) |
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SI
es asíntota |
| Lim F(x)
= |
Lim |
—————— |
= Lim |
———— |
= ± ∞
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| x→
-1± |
x→ -1± |
(x2
- 1) |
x→ -1± |
(x + 1) |
|
|
| |
|
(x - 1)·(x - 3) |
|
(x - 3) |
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NO
lo es |
| Lim F(x)
= |
Lim |
—————— |
= Lim |
———— |
= - 1
|
|
| x→
1± |
x→ 1± |
(x2
- 1) |
x→ 1± |
(x + 1) |
|
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Como puede deducirse, esta función sólo tiene una asíntota
vertical en x = -1.
En x = 1 tiene un punto de discontinuidad evitable (ambos
límites laterales existen y son iguales). Además corta al eje X en x = 3 y tiene
asíntota horizontal en y = 0.
*NOTA: El divisor
común, (x - 1), sólo se puede simplificar si x
→1±.
Nunca si x = 1. La función no existe para ese valor de la x, no pertenece a su
dominio. No es verdad que 0/0=1 (no es número
Real). (volver al párrafo de *Nota)
En esta otra vemos dos asíntotas verticales: una en x = 1 (F(x)
→ - ∞ ) y otra en x = -1
(F(x) → + ∞ ).
Una horizontal en y = 0. El numerador se anula para x = 0 (no el denominador)
por tanto tiene punto de corte con X en ese punto. El dominio es todo R
- {-1 , 1}.
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